2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение07.08.2010, 22:38 
Оценить разность
$\int_{2}^{3}  \zeta (s) ds - \int_{3}^{4}  \zeta (s) ds$

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение08.08.2010, 14:43 
Аватара пользователя
Посчитайте эту разность для каждого слагаемого в определении $\zeta$.

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение08.08.2010, 20:07 
Профессор Снэйп в сообщении #343275 писал(а):
Посчитайте эту разность для каждого слагаемого в определении $\zeta$.


По определению
$\zeta(s)=\sum_n n^{-s}$
Как именно считать разности?

Предел интегральных сумм $S_m$ не зависит от способа разбиения отрезков $[2;3]$ и $[3;4]$ на $m$ частей и выбора точек разбиения $\psi _i$, $\mu _i$
Например, разобьем первый отерзок на $m$ равных частей. для интегральной суммы получим:

$S_m= \sum_{k=1}^{m} \zeta(\psi_k) \Delta x_k$,
$\psi_k=k(3-2)/m=k/m$, $\Delta x_k=1/m$

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение08.08.2010, 21:05 
Аватара пользователя
А что значит оценить?
Значения функции в точках 2, 3 и 4 известны. По трапециям получается разность 0,3. Можно параболу натянуть и посчитать погрешность. Или Вам нужно в теоретическом смысле?

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение08.08.2010, 21:08 
gris в сообщении #343350 писал(а):
А что значит оценить?
Или Вам нужно в теоретическом смысле?

Да, именно в теоретическом смысле, для более ясного понимания общих свойств $\zeta(s)$.

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение08.08.2010, 21:24 
e7e5 в сообщении #343353 писал(а):
Да, именно в теоретическом смысле, для более ясного понимания общих свойств $\zeta(s)$.


почленно не пробовали интегрировать?
(может это имел в виду Профессор Снэйп)

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение09.08.2010, 14:23 
mihailm в сообщении #343362 писал(а):
почленно не пробовали интегрировать?
(может это имел в виду Профессор Снэйп)

Как именно?

 
 
 
 Re: Интеграл от дзета-функции Римана
Сообщение09.08.2010, 15:11 
Если я правильно понял и набрал в MathType, имеется ввиду что-то такое (не знаю, верно ли):
$\int\limits_2^3 {\zeta (s)ds} + \int\limits_4^3 {\zeta (s)ds}  = \int\limits_2^3 {(1 + 2^{ - s} + 3^{ - s}  +  \ldots )ds}  + \int\limits_4^3 {( \ldots )ds} =$
$\left. {(s - 2^{ - s} /\ln 2 - 3^{ - s} /\ln 3 -  \ldots )} \right|_2^3  + \left. {( \ldots )} \right|_4^3  =$
$(3 - 2 + 3 - 4) - (2^{ - 3} - 2^{ - 2}  + 2^{ - 3} - 2^{ - 4} )/\ln 2 - (3^{ - 3}  - 3^{ - 2}  + 3^{ - 3}  - 3^{ - 4} )/\ln 3 - \ldots =$
$- 3 + \sum\limits_{n = 2}^\infty  {\frac{{n^{ - 2}  + n^{ - 4}  - 2n^{ - 3} }}{{\ln n}}}$

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group