Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противного?

[Руст]

Someone писал(а):

Нет, аксиомы теории множеств специально ничего не запрещают. Напротив, аксиомы теории множеств - это разрешение выполнять определённые построения: например, строить бесконечное множество, строить множество подмножеств, строить пару, выделять часть уже существующего множества и т.п.. В аксиоматической теории множеств "определение" $\{x:x\notin x\}$ никакого множества не определяет, так как среди аксиом теории множеств нет разрешающей строить множества типа $\{x:\varphi(x)\}$. Там есть аксиома, разрешающая строить множества типа $\{x:x\in y\&\varphi(x)\}$. Поэтому рассуждения Рассела просто показывают, что объект $\{x:x\notin x\}$ не является множеством. Если в теории нет никаких объектов, кроме множеств, то объект $\{x:x\notin x\}$ просто не существует. Если теория допускает существование классов, то такой объект может существовать, но множеством он не будет; в частности, он не может быть элементом какого-либо класса.

А как быть с множеством: $\{x:x\in N| x\le M, \varphi(x)\}$, где M достаточно большое число, например $K^{11}$, где К количество слов в руском языке, а свойство $\varphi(x)$ приведённое выше свойство.

[Someone]

Руст писал(а):

А как быть с множеством: $\{x:x\in N| x\le M, \varphi(x)\}$, где M достаточно большое число, например $K^{11}$, где К количество слов в руском языке, а свойство $\varphi(x)$ приведённое выше свойство.

Я не совсем понял, что означают символы "N", "|" и "," в Вашей формуле. И какое "приведённое выше свойство" имеется в виду? $x\notin x$?

Если $\mathbb N$ - это натуральный ряд (как обычно принято в теории множеств - с нулём, хотя это несущественно), а формулу прочесть как $\{x:x\in\mathbb N\&x\leqslant M\&x\notin x\}$ (амперсанд обозначает "и"), то результат зависит от того, что мы понимаем под натуральными числами в этой теории множеств. Если, как обычно, $\mathbb N$ - минимальное множество, содержащее $0=\varnothing$ и вместе с $n$ содержащее $n'=n\cup\{n\}$ (следующее натуральное число), то Ваше множество - это отрезок натурального ряда от $0$ до $M$. Или я чего-то не понял?

Кстати, в теории множеств обычно принимается аксиома регулярности, из которой следует, что $x\notin x$ для любого множества $x$.

[Руст]

N множество натуральных чисел, а свойство упомянутое ранее:
"не выразимое менее чем десятью русскими словами".
А далее рассматриваем в этом множестве минимальный элемент и выражаем его
"минимальное натуральное число, невыразимое..."

[Someone]

Руст писал(а):

N множество натуральных чисел, а свойство упомянутое ранее:
"не выразимое менее чем десятью русскими словами".
А далее рассматриваем в этом множестве минимальный элемент и выражаем его
"минимальное натуральное число, невыразимое..."

Ах, вон Вы о чём. Это в стандартной теории множеств выразить нельзя. Для этого нужна теория, которая содержит в качестве объектов собственные формулы, то есть, в ней перемешиваются теория и метатеория. Такие фокусы, как правило, мгновенно приводят к противоречиям.

[Руст]

Да. Но "нечто" (включая семантику - элементы логики второго порядка в теорию множеств)такое пробовал выразить Котофеич и доказать противоречивость теории множеств.

[Dims]

Someone писал(а):

Нет, аксиомы теории множеств специально ничего не запрещают.

А разве аксиома фундирования не исключает рекурсивные множества?

[Руст]

Someone писал(а):

Это в стандартной теории множеств выразить нельзя. Для этого нужна теория, которая содержит в качестве объектов собственные формулы, то есть, в ней перемешиваются теория и метатеория. Такие фокусы, как правило, мгновенно приводят к противоречиям.

Так как в грамматике теории множеств имеется только конечное множество правил образования новых множеств по имеющимся, получается, что имеется только счётное количество различных множеств. Тогда должен существовать изоморфизм, сопоставляющий каждому множеству конструктивное подмножество натурального ряда с соблюдением всех правил типа, если А переходит в f(A), то множеству всех подмножеств А соответсвует множество всех конструктивных подмножеств f(A). Тогда возникает вопрос, зачем нужны множества импа континиум, если можно обходиться только с их конструктивными аналогами.

[Someone]

Dims писал(а):

Someone писал(а):

Нет, аксиомы теории множеств специально ничего не запрещают.

А разве аксиома фундирования не исключает рекурсивные множества?

Аксиома фундирования формулируется так: для каждого непустого множества $x$ найдётся такой элемент $y\in x$, что $x\cap y=\varnothing$. Таким образом, это - утверждение о существовании некоторого множества. Другое дело, что отсюда следует невозможность цепочек $x\in x$, $x\in y\in x$, $x\in y\in z\in x$ и т.д.. А утверждений типа "не существует" ни в одной аксиоме нет. Но никто не запрещает такие аксиомы формулировать.

Руст писал(а):

Так как в грамматике теории множеств имеется только конечное множество правил образования новых множеств по имеющимся,

Нет, там есть две схемы аксиом (выделения и подстановки), которые дают бесконечную совокупность аксиом.

Руст писал(а):

если А переходит в f(A), то множеству всех подмножеств А соответсвует множество всех конструктивных подмножеств f(A)

Не знаю. Но теория множеств действительно имеет счётные модели (если она вообще имеет какие-нибудь модели).

Руст писал(а):

Тогда возникает вопрос, зачем нужны множества импа континиум, если можно обходиться только с их конструктивными аналогами.

Видите ли, в этой счётной модели есть несчётные в ней множества. Так что никуда мы от них не денемся. Мощность множества зависит от того, в какой модели теории множеств оно рассматривается: в одной модели биекция этого множества на натуральный ряд есть, а в другой этой биекции нет.

[Dims]

Someone писал(а):

Другое дело, что отсюда следует невозможность цепочек $x\in x$, $x\in y\in x$, $x\in y\in z\in x$ и т.д..

Разве не для того, чтобы запретить конструкции типа Рассела, она была создана?

[Someone]

Dims писал(а):

Someone писал(а):

Другое дело, что отсюда следует невозможность цепочек $x\in x$, $x\in y\in x$, $x\in y\in z\in x$ и т.д..

Разве не для того, чтобы запретить конструкции типа Рассела, она была создана?

Видите ли, если в теории есть противоречие, то добавление новых аксиом делу не поможет: всякая новая аксиома - это новое средство доказательства, и от того, что средств для получения противоречий станет больше, количество противоречий не уменьшится.

По поводу аксиомы фундирования (регулярности) в книге

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

сказано:

Цитата:

Принимая аксиомы I - VII, мы ни в коей мере не утверждаем, что они полностью описывают содержание интуитивного понятия "множество". Напротив, мы знаем примеры интуитивно очевидных теорем, не зависимых от аксиом I - VII. В качестве такого примера назовём теорему:

Если $A$ - непустое семейство множеств, то существует такое множество $X$, что $X\in A$ и $X\cap A=\varnothing$.

В некоторых изложениях теории множеств принимается ещё так называемая аксиома регулярности, утверждающая, что указанным свойством обладает каждое семейство множеств.
Из аксиомы регулярности следует, в частности, что ни для какого $X$ не верно $X\in X$ и вообще ни для каких $X_1,X_2,\dots,X_n$ не имеет места $X_1\in X_2\in\dots\in X_n\in X_1$.
Мы не будем пользоваться аксиомой регулярности.

Обратите внимание: в указанной книге аксиома регулярности (фундирования) не принимается, хотя авторы считают её интуитивно очевидной, однако никакого парадокса Рассела в их теории множеств нет. Парадокс Рассела разрешается не введением каких-то аксиом, а ограничением понятия множества, а рассуждения, приводящие к парадоксу, превращаются в доказательство (от противного) того, что требуемая совокупность не является множеством.

[Dims]

Someone писал(а):

Парадокс Рассела разрешается не введением каких-то аксиом, а ограничением понятия множества,

Разве это не одно и то же?

Цитата:

а рассуждения, приводящие к парадоксу, превращаются в доказательство (от противного) того, что требуемая совокупность не является множеством.

А!!!!! Так оно всё-таки является доказателством от противного?

[незваный гость]

Dims писал(а):

А!!!!! Так оно всё-таки является доказателством от противного?

Так в другой же системе аксиом! Фактически, в «другой математике».

Я никак не могу понять Ваше понимание построения математики. Все время возникают какие-то вопросы о смешении систем аксиом, что такое математический объект и правила логики. Это не упрек, нет, я именно не могу понять Вас, и потому затрудняюсь объяснить.

Теория множеств, логика — это очень формальные предметы. В частности, их можно представить как манипулирование цепочками символов по определенным правилам (аксиомам). Корректность любой системы правил требует обоснования. Например, мы можем ввести аксиомы группы, но встает вопрос: а существует ли хотя бы одна группа? Вопрос в том, что в примитивной теории $\{x: x \not \in x\}$ является множеством по построению. Но его свойства противоречивы. В этом и парадокс. В более поздних теориях этот объект либо нельзя построить, либо он не является множеством (а вот это можно доказывать от противного). Но П.Р. появился именно для примитивной т.м., а не для современной.

[Macavity]

Someone писал(а):

Dims писал(а):

Someone писал(а):

Другое дело, что отсюда следует невозможность цепочек $x\in x$, $x\in y\in x$, $x\in y\in z\in x$ и т.д..

Разве не для того, чтобы запретить конструкции типа Рассела, она была создана?

Видите ли, если в теории есть противоречие, то добавление новых аксиом делу не поможет: всякая новая аксиома - это новое средство доказательства, и от того, что средств для получения противоречий станет больше, количество противоречий не уменьшится.

Значит ли это, что Вы считаете, что в аксиоматической теории множеств, противоречий нет?

Добавлено спустя 23 минуты 53 секунды:

Dims.

Вообще-то существует два способа определения множества. В первом, множество определяется перечислением элементов. Скажем, возьмем множество из одного элемента. Этот элемент -"рыжеволосый мягкий грюдик". То, что ни я, ни Вы, ни вообще никто не знает, что это или кто это, отнюдь не означает, что такого множества не существует. Да, определили множество состоящее из одного "грюдика", к тому же рыжеволосого и мягкого. Определение - есть определение.

Во втором случае, множество определяется по свойствам входящих в него элементов. И опять, принцип свертываемости не подразумевает решения вопроса о том существует такое множество или нет. Оно обязано существовать (оно может быть пустое или нет, множеством всех множеств или конечным, счетным и т.д.), но исследования свойств элементов данного множества приводит к тому, что само по себе свойство не описывает множество, а приводит к противоречию. Это не означает, что множество не существует. Это означает противоречие и, следоательно, возникновение парадокса Рассела.

[Someone]

Macavity писал(а):

Значит ли это, что Вы считаете, что в аксиоматической теории множеств, противоречий нет?

Пока их никто не видел. Когда увидим, тогда и поговорим.

Macavity писал(а):

Вообще-то существует два способа определения множества. В первом, множество определяется перечислением элементов. Скажем, возьмем множество из одного элемента. Этот элемент -"рыжеволосый мягкий грюдик". То, что ни я, ни Вы, ни вообще никто не знает, что это или кто это, отнюдь не означает, что такого множества не существует.

Является ли этот самый "рыжеволосый мягкий грюдик" множеством или атомом данной теории множеств (если у Вас теория множеств с атомами)? Если является, то такое множество существует. Если не является - то извините, у Вас получится пустое множество, а вовсе не множество из одного элемента.

Macavity писал(а):

Да, определили множество состоящее из одного "грюдика", к тому же рыжеволосого и мягкого. Определение - есть определение.

Об определениях, конечно, не спорят, но о том, что за объект получается, можно и поговорить.

Macavity писал(а):

Во втором случае, множество определяется по свойствам входящих в него элементов. И опять, принцип свертываемости не подразумевает решения вопроса о том существует такое множество или нет. Оно обязано существовать

Для этого мало Вашей личной уверенности. Предъявите доказательство. К тому же, у меня такое впечатление, что Вы имеете более чем отдалённое представление об аксиоматической теории множеств.

Macavity писал(а):

(оно может быть пустое или нет, множеством всех множеств или конечным, счетным и т.д.), но исследования свойств элементов данного множества приводит к тому, что само по себе свойство не описывает множество, а приводит к противоречию. Это не означает, что множество не существует. Это означает противоречие и, следоательно, возникновение парадокса Рассела.

Это означает, что Вы говорите чушь.

[Macavity]

Someone писал(а):

Это означает, что Вы говорите чушь.

Ну надо же, "грюдики" не нравятся. Вы наверное, не знаете, что Герман Вейль, обсуждая проблему Рассела использовал "картошку" и даже "мешок картошки". Уже не говоря о том, что не знаете, что это за "грюдики" и почему они белые и пушистые.