Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противного?

[Macavity]

Dims писал(а):

Macavity писал(а):

В нашем случае
и B_1,B_2, ..., B_n, не-A
и B_1,B_2, ..., B_n, A
приводят к ложному высказыванию. В этом и парадокс.

Не согласен. Высказыванием "А" является тут высказывание "не существует множества всех множеств, не содержащих самоё себя". А две дальнейщие гипотезы -- это какие-то другие Г и не-Г -- это просто перебор двух возможных альтернатив, каждая из которых приводит, как выясняется, к противоречию. Такое часто встречается в доказательствах от противного.

А я думаю, что не-A означает "существует..."

[Someone]

Что-то я не пойму, из-за чего сыр-бор. Парадокс Рассела относится к первоначальному варианту наивной теории множеств, в которой любые совокупности множеств являются множествами. В аксиоматической теории множеств парадокса Рассела нет, а рассуждения Рассела являются доказательством от противного того, что упомянутая совокупность множеств не существует (или не является множеством в NGB).

[Dims]

Macavity писал(а):

А я думаю, что не-A означает "существует..."

В таком случае, к противоречию приводит только B_1,B_2, ..., B_n, не-A, а B_1,B_2, ..., B_n, A не приводит.

Добавлено спустя 3 минуты 46 секунд:

Re: Парадокс Рассела.

Someone писал(а):

Парадокс Рассела относится к первоначальному варианту наивной теории множеств, в которой любые совокупности множеств являются множествами.

Да, я читал об этом. Но не пойму, в чём проблема с этой теорией.

Цитата:

В аксиоматической теории множеств парадокса Рассела нет,

Да, потому что фигурирующие в нём объекты запрещены какой-нибудь аксиомой. И вот мне непонятно, нафига запрещать эти объекты аксиомой, если сам парадокс Рассела является теоремой, которая доказывает то же самое?

Иными словами, не являются ли аксиоматики теории множеств избыточными?

[Brukvalub]

Dims писал(а):

....И вот мне непонятно, нафига запрещать эти объекты аксиомой, если сам парадокс Рассела является теоремой, которая доказывает то же самое?

А какой иной выход из парадокса Рассела предлагаете Вы?

[Dims]

Я ничего не предлагаю. Я просто не понимаю. Есть миллион доказательств от противного. И никто не предлагает из них "выход". А из парадокса Рассела почему-то требуется выход.

Мне непонятно, почему.

[незваный гость]

Существование парадокса Рассела доказывает противоречивость примитивной теории множеств. Противоречивая теория никому не нужна, но теория множеств — нужна. Поэтому-то и нужен выход.

Все это сродни тому, что мы вдруг обнаружили, что 1=2. Это означает, что нам срочно нужно менять аксиоматику арифметики.

Сравните еще с аксиомой о паралельности. Там выяснилось, что она не зависит от остальных аксиом. Ситуация, противоположная нашей: здесь в рамках аксиоматики мы имеем противоричивость системы аксиом.

[Brukvalub]

Dims писал(а):

Я ничего не предлагаю. Я просто не понимаю. Есть миллион доказательств от противного. И никто не предлагает из них "выход". А из парадокса Рассела почему-то требуется выход.

Мне непонятно, почему.

А что доказывает парадокс Рассела, если Вы считаете его неким док-вом "от противного"?

[Dims]

незваный гость писал(а):

:evil:
Существование парадокса Рассела доказывает противоречивость примитивной теории множеств.

Почему существование других доказательств от противного не доказывает противоречивость теории, а существование п. Р. -- доказывает?

Цитата:

Все это сродни тому, что мы вдруг обнаружили, что 1=2. Это означает, что нам срочно нужно менять аксиоматику арифметики.

Это если я получил это утверждение как следствие своих аксиом. А если я просто сказал допустим 1=2, то я просто приду к противоречию и опровергну своё допущение.

Добавлено спустя 4 минуты 31 секунду:

Brukvalub писал(а):

А что доказывает парадокс Рассела, если Вы считаете его неким док-вом "от противного"?

Мне кажется, он доказывает, что

$(\exists (S=\{X: X\not \in X\})) = false$

[незваный гость]

Dims писал(а):

Почему существование других доказательств от противного не доказывает противоречивость теории, а существование п. Р. -- доказывает?

Потому, что мы обычно включаем в список посылок некое предположение, которое хотим опровергнуть. Здесь же у нас никаких предположений нет, мы просто конструируем объект.

Dims писал(а):

$(\exists (S=\{X: X\not \in X\})) = false$

Это очень интересный момент. То есть, мы доказали, что множество не существует? Это как? Мы же его построили! В рамках данной аксиоматики! В этом-то и есть проблема — что мы можем построить несуществующий объект. А поскольку мы никаких предположений попутно не делали, то проблема в аксиоматике.

[Brukvalub]

Возможно, дело в том, что парадокс Рассела - лишь один пример из большого множества парадоксов, которые возникают при образовании "слишком больших " множеств, и, чтобы не доказывать одну за другой теоремы о существовании или несуществовании таких множеств и, начиная построения в рамках теории множеств, каждый раз быть уверенным, что построенное мн-во имеет смысл, и требуется соответствующая система аксиом. Грубо говоря, аналогия такая: если мы производим вычисления в кольце целых чисел в соответствии с правилами действий в этом кольце, то мы безоговорочно доверяем результату (признаем его верным). А действия с множествами в рамках наивной теории множеств не всегда дают достоверный результат (см. П.Р.), что не есть хорошо.

[Dims]

незваный гость писал(а):

То есть, мы доказали, что множество не существует? Это как? Мы же его построили! В рамках данной аксиоматики! В этом-то и есть проблема — что мы можем построить несуществующий объект.

Что значит "построили"? Мы записали на своём языке описание некоторого объекта. Это не значит, что мы его построили, мы его просто описали, указали его свойства.

Например.

Мы же можем записать: "взаимнооднозначное соответствие между множеством действительных и множеством натуральных чисел"? Мне кажется, можем. Но при этом это не значит, что мы такое соответствие "построили". Мы его просто описали. И более того, общепризнано доказательство того, что этот объект, это отношение, которое вполне можно описать, НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Вообще, насколько я знаю, в математике полно случаев, когда доказывается существование или несуществование некоторого нечто. При этом оно сначала описывается, а потом ставится вопрос о том, существует такой объект, или нет. И вовсе не считается, что если мы смогли охарактеризовать объект, то это обязательно значит, что он существует.

В чём отличие данного случая?

Добавлено спустя 12 минут 6 секунд:

Brukvalub писал(а):

чтобы не доказывать одну за другой теоремы о существовании или несуществовании таких множеств и, начиная построения в рамках теории множеств, каждый раз быть уверенным, что построенное мн-во имеет смысл, и требуется соответствующая система аксиом.

Может быть. Но непонятно, почему существование одних вещей можно доказывать, а от доказательств существования других следует избавляться.

Цитата:

А действия с множествами в рамках наивной теории множеств не всегда дают достоверный результат (см. П.Р.), что не есть хорошо.

Но тоже самое происходит и в других областях. Допустим, если производить операции с взаимнооднозначным соответствием между множеством и его булеаном, то тоже не всегда будет получаться достоверный результат (так как такое соответствие не существует). Означает ли это, что нам надо создать такую аксиоматику, в которой о таком соответствии нельзя было бы даже помыслить?

[незваный гость]

Dims писал(а):

Что значит "построили"? Мы записали на своём языке описание некоторого объекта. Это не значит, что мы его построили, мы его просто описали, указали его свойства.

А что значит «описали его свойства»? Видите ли, если Вы обычно пишете $\{x: P(x)\}$ и объект не существует, то Вы получаете пустое множество. Здесь же $\{x: x \not \in x \}$ не может быть множеством вовсе. Это принципиально — оказывается, что сама наша нотация, сам наш метод построения множеств ущербен. Мы не можем гарантировать, что объект, построенный формально корректно является объектом нашей теории.

Если угодно, мы можем попытаться разобрать приемер с биекцией $\mathbb N$ и $\mathbb R$. Попробуйте записать его формально.

[Dims]

незваный гость писал(а):

Видите ли, если Вы обычно пишете $\{x: P(x)\}$ и объект не существует, то Вы получаете пустое множество.

Пустое множество я получаю только в том случае, если предикат всегда оказывается ложным. Но пустое множество существует, просто у него не существует жлементов. То есть, если для любого x предикат ложен, то это не значит, что объект не существует. У нас же другая ситуация: предикат (по предположению) бывает как истинным, так и ложным, то есть, он возвращает какие-то элементы. Однако же сама полученная конструкция "не существует", то есть, предположение о её существовании несовместно с аксиомами.

Иными словами, ведь делает же теория различие между элементом и множеством из одного этого элемента? Например, {0} не равно 0. Потому и "не существование самого объекта" и "не существование элементов у этого объекта" должны быть разными понятиями.

Цитата:

Здесь же $\{x: x \not \in x \}$ не может быть множеством вовсе.

Не может быть, но ведь это доказуемо.

Цитата:

Если угодно, мы можем попытаться разобрать приемер с биекцией $\mathbb N$ и $\mathbb R$. Попробуйте записать его формально.

Надо подумать...

[незваный гость]

Dims писал(а):

Иными словами, ведь делает же теория различие между элементом и множеством из одного этого элемента? Например, {0} не равно 0. Потому и "не существование самого объекта" и "не существование элементов у этого объекта" должны быть разными понятиями.

Теория делает различие между элементом и множеством из этого эелемента. Никто и не спорит, что «"не существование самого объекта" и "не существование элементов у этого объекта"» это разные понятия. Но вот мы сумели построить пример, когда мы весьма умело смешали эти два понятия, получив противоречивость теории.

Наше противоречие говорит о том, что совокупности, обращающие в истинность некоторый предикат нельзя называть множествами. Но в рамках примитивной теории множеств возникает вопрос: а что же это тогда? И как не ответь, все плохо.

[Dims]

незваный гость писал(а):

Наше противоречие говорит о том, что совокупности, обращающие в истинность некоторый предикат нельзя называть множествами.

ИНОГДА нельзя назвать множествами.

Насчёт биекции. Сформулирую словами. Будем конструировать биекцию R ввиде множества из элементов вида {n, {r, {n,r}}}, где n -- натуральное число, а r - действительное. Потребуем, чтобы для любых n и r объект {n, {r, {n,r}}} принадлежал бы R. Потребуем, чтобы для любых двух элементов из R, отличе между n-ами влекло отличие между r-ами и наоборот.

Вот. Получилось некотое описание множества, которое на первый взгляд, описывает реально существующее множество. Теорема о том, что такой биекции не может быть, никак не может быть проинтерпретирована в том смысле, что описываемое множество является пустым. Она доказывает именно несовместность требований ко множеству. На мой взгляд, точно так же, как и в парадоксе Рассела.