Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противного?

[Dims]

Подскажите, почему нельзя считать, что парадокс Рассела является доказательством того, что "множество всех множеств, не содержащих самого себя" не существует? Ведь вроде бы, это стандартный ход доказательства от противного.

Теорема: не существует мн-ва всех мн-в, не содержащих самого себя.

Док-во: допустим, такое множество существует. Тогда оно либо содердит себя, либо нет. Если содержит, то... и так далее. Приходим к противоречию, теорема доказана.

Мой вопрос: что в этом "доказательстве" не так, что заставляет считать его не доказательством, а парадоксом? Если это доказательство, то тогда не требуется вставлять защиту от такого парадокса в аксиоматику, то есть, не нужна аксиома, если есть теорема. Почему же так не поступили?

[RIP]

"Не так" в этом док-ве, IMHO, то, что оно верно, однако, с другой стороны, "интуиция" подсказывает, что утверждение теоремы неверно, ведь на первый взгляд множество всех... - вполне определенное множество.

[Dims]

В таком случае, что меняется от того, что мы запретим создавать рекурсивные (под вопросом) множества на уровне аксиоматики? Интуиция-то всё равно будет говорить, что это бывает.

[Руст]

Допустим существует такое множество S. Тогда $S=\{X|X\not \in X\} и не содержит S по определению. Так как S множество всех таких множеств (не содержащих самого себя) и S множество, то он должен содержать S.

[Macavity]

Dims писал(а):

Подскажите, почему нельзя считать, что парадокс Рассела является доказательством того, что "множество всех множеств, не содержащих самого себя" не существует? Ведь вроде бы, это стандартный ход доказательства от противного.

С точки зрения классической теории множеств, как показал Руст, приходим к противоречию.
Считается, что противоречие может быть преодолено с помощью изменения самого понятия множества. Например, в системе NBG (фон Неймана-Бернайса-Геделя) предлагается разделить понятия множества и класса (в частности, к классам относятся "очень большие" совокупности). В этой системе парадокса не существует.
Другая попытка преодалеть это парадокс - это теория категорий.

[Sasha2]

А нельзя ли в качестве определения множества использовать такое:

Множеством называеся совокупность объектов вместе с правилом, которое для любого СУЩЕСТВУЮЩЕГО объекта позволяет сделать вывод о принадлежности или непринадлежности этого любого, но СУЩЕСТВУЮЩЕГО объекта к данной совокупности объектов.

По моему все эти парадоксы возникают из-за того, что мы пытаемся применять те или иные правила к объе6ктам, которые на самом деле не существуют.

Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь.

[Macavity]

Sasha2 писал(а):

А нельзя ли в качестве определения множества использовать такое:

Множеством называеся совокупность объектов вместе с правилом, которое для любого СУЩЕСТВУЮЩЕГО объекта позволяет сделать вывод о принадлежности или непринадлежности этого любого, но СУЩЕСТВУЮЩЕГО объекта к данной совокупности объектов.

По моему все эти парадоксы возникают из-за того, что мы пытаемся применять те или иные правила к объе6ктам, которые на самом деле не существуют.

Поправьте, пожалуйста, если ошибаюсь.

В этом случае надо вводить понятие, что значит СУЩЕСТВУЮЩИЙ объект. Кажется по Платону существующие объекты, это объекты из "мира идей" (что близко математике), а реальный мир - это только "тени" мира идей.

Наверное, если под существующим объектом понимать объект реального мира, то это избавит теорию множеств от многоих парадоксов, так как, в частности, лишит ее понятия бесконечности (континуума). Мир все таки конечен, в нем конечное количество молекул, атомов и т.д. (по крайней мере так физики сейчас считают - хотя доказать это не могут).

Это наверное решение, но как тогда быть с натуральными числами, вещественной прямой, евклидовым пространством и т.д. Надо или отказываться от части математики или модифицировать теорию множеств, что и сделано в NBG.

[Sasha2]

Да нет, я так далеко не захожу. Единственная цель это избавиться от таких объектов типа множество всех множеств.

[бобыль]

Я так и не понял, прав Dims или нет? Или и это парадокс?

[Руст]

Я думаю здесь нет парадокса, просто соответствующее определение S ничего не определяет, мягко говоря является не конструктивным определением.
Бернсайд, пытался привести это определение к конструктивной форме, называя некоторые совокупности множеств классами и запрещая совокупности из классов. Однако это возможно только полумера.
В такого рода неконструктивных определениях, ссылающих на самого себя с отрицанием (здесь принадлежность ссылается на непринадлежность в определении), возникают противоречия и в конечных множествах. Например, что определяет следующее определение:
"Минимальное натуральное число не выразимое менее, чем одиннадцатью русскими словами."
Число слов конечное множество, поэтому сочетаний из не более 10 слов конечно. Поэтому фактический речь идёт в отборе из конечного подмножества натуральных чисел.

[Macavity]

Руст писал(а):

Например, что определяет следующее определение:
"Минимальное натуральное число не выразимое менее, чем одиннадцатью русскими словами."
Число слов конечное множество, поэтому сочетаний из не более 10 слов конечно. Поэтому фактический речь идёт в отборе из конечного подмножества натуральных чисел.

Мне кажется, что это (как и парадокс лжеца) парадокс, относящийся к логике, а не теории множеств.

Руст, а скажите вот такую вещь. Логика, в своих построениях использует теорию множеств.
Теория множеств в своих - логику (как минимум modus ponens и вообще как метатеорию).
Нет ли здесь противоречия.
Например, в "Математической логике" Ершова и Палютина начинается все с "Исчисления высказываний", где в первую очередь вводится понятие множества. Следующий раздел "Теория множеств", где используется исчисление выскаываний...
Конечно, это может быть из дидактических соображений, но все таки, можно ли строить логику, не опираясь на теорию множеств.

[Руст]

Я придерживаюсь такой точки зрения, что в любой теории присутствует не определённые погятия. В этом смысле в логике присутствуют "множества". Не имея никаких понятий теорию не построишь. Поэтому, для математики хорошо бы ограничиться в качестве неопределённых понятий только натуральные числа.

[Dims]

Руст писал(а):

Допустим существует такое множество S.

И что? Вы расписали парадокс Рассела, как я понял. Или я не въехал?

Добавлено спустя 3 минуты 32 секунды:

Re: Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противно

Macavity писал(а):

С точки зрения классической теории множеств, как показал Руст, приходим к противоречию.
Считается, что противоречие может быть преодолено с помощью

В этом и заключается вопрос: существуют сотни теорем, в доказательстве которых используется метод "от противного", то есть, приходят к противоречию. Но почему-то эти противоречия никто не стремится преодолевать, а просто говорят, что раз получилось противоречие, то просто была неверна исходная посылка. Почему в случае с Расселом не поступить так же?

Цитата:

Например, в системе NBG (фон Неймана-Бернайса-Геделя) предлагается разделить понятия множества и класса (в частности, к классам относятся "очень большие" совокупности). В этой системе парадокса не существует.

И что, в этой системе класс всех классов, не содержащих самого себя, содержит себя, или нет?

Цитата:

Другая попытка преодалеть это парадокс - это теория категорий.

Ок, я с этим всем не знаком пока, но вопрос остаётся: зачем парадокс ПРЕОДОЛЕВАТЬ?

[Macavity]

Dims писал(а):

Re: Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противно

Доказательство от противного:
есть истинные высказывания B_1,B_2, ..., B_n
надо доказать A

Рассматриваются высказывания B_1,B_2, ..., B_n, не-A
Доказывается, что результат этого ложное высказывание.

При этом высказывания B_1,B_2, ..., B_n, A
не дают ложного высказывания.
Это нормально.

В нашем случае
и B_1,B_2, ..., B_n, не-A
и B_1,B_2, ..., B_n, A
приводят к ложному высказыванию. В этом и парадокс.

Под ложным высказыванием понимается, что из посылок выводимо и C и не-C

Добавлено спустя 27 минут 32 секунды:

Dims писал(а):

Цитата:

Например, в системе NBG (фон Неймана-Бернайса-Геделя) предлагается разделить понятия множества и класса (в частности, к классам относятся "очень большие" совокупности). В этой системе парадокса не существует.

И что, в этой системе класс всех классов, не содержащих самого себя, содержит себя, или нет?

Я просто опишу, как исчезает парадокс в NBG.
Под множеством понимаются классы, которые сами являются элементами других классов.
Иными словами X-есть множество означает, что существует Y, такой что X \in Y.
Класс Рассела - R= {x: x-множество и X \notin X }

Если рассмотреть случай R \in R, то надо также учесть, что R (по первому условию) - это множество. Но множество не может включать самого себя, значит получим противоречие. То есть R это не множество, но класс (классы не являющиеся множествами называются собственными классами). То есть R собственный класс и он сам себя не содержит. Хоть выглядит и горбато, но парадокса нет.

Dims писал(а):

Ок, я с этим всем не знаком пока, но вопрос остаётся: зачем парадокс ПРЕОДОЛЕВАТЬ?

Может потому, что просто ИЗБАВИТЬСЯ от него невозможно!

[Dims]

Macavity писал(а):

В нашем случае
и B_1,B_2, ..., B_n, не-A
и B_1,B_2, ..., B_n, A
приводят к ложному высказыванию. В этом и парадокс.

Не согласен. Высказыванием "А" является тут высказывание "не существует множества всех множеств, не содержащих самоё себя". А две дальнейщие гипотезы -- это какие-то другие Г и не-Г -- это просто перебор двух возможных альтернатив, каждая из которых приводит, как выясняется, к противоречию. Такое часто встречается в доказательствах от противного.