Кинематика - сомневаюсь в книжном решении

[мат-ламер]

А. Боровой и др. Механика. Задача N1 поставила меня в тупик. Цитирую условие по памяти. Тело движется вдоль отрезка. Каким должен быть закон движения тела, если известно, что средняя скорость тела равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей? В ответе с помощью формул и чертежа доказывается, что решение единственно и достигается в случае, когда у тела скорость меняется линейно (т.е. ускорение постоянно). Как-то я сомневаюсь в единственности решения. И был бы в этом уверен полностью, однако авторы пишут, что задачи аппробировались в физ-мат школе для особо одарённых при курчатовском институте. А что думает уважаемая публика?

[terminator-II]

Т.е. они хотят сказать, что существует единственная функция $v(t)$ на отрезке $[0,1]$ такая, что уравнение $\int_0^1v(t)dt=v(0)+v(1)$ имеет единственное решение?
Я бы уточнил терминологию и условие, а вообще не стоит этим заморачиваться, по теперешним временам еще и не такое видеть приходится, особенно если

мат-ламер в сообщении #342440 писал(а):

задачи аппробировались в физ-мат школе для особо одарённых при курчатовском институте

[ShMaxG]

Средняя скорость на $\[\left[ {0,t} \right]\]$, это $\[{v_{mean}(t)} = \frac{1} {t}\int\limits_0^t {v\left( {t'} \right)dt'} \]$ для любого $t$? Если так, что решая диффур $\[\frac{1} {t}\int\limits_0^t {v\left( {t'} \right)dt'} = \frac{{{v_0} + v\left( t \right)}} {2}\]$ действительно получаем, что ускорение -- константа.

Ну а вообще да, формулировку не мешало бы уточнить.

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #342448 писал(а):

$\[\frac{1} {t}\int\limits_0^t {v\left( {t'} \right)dt'} = \frac{{{v_0} + v\left( t \right)}} {2}\]$

а почему Вы решили, что это для любого $t$ там сказано про вполне конкретный отрезок

[ShMaxG]

А, да... я неверно условие прочитал.

[gris]

Наверное, скорость не должна менять знак. Иначе возникнут разночтения - средняя скорость перемещения или средняя скорость по пройденному пути.

Тело стартовало и финишировало в той же точке с нулевой начальной и конечной скоростью.

[terminator-II]

не поможет

[gris]

Ясно, что не поможет. Закрепим концы скорости и будем шевелить середину, чтобы площадь под графиком была постоянной.
Значит, это условие для каждого отрезка движения.

[ShMaxG]

Точная формулировка задачи:

По какому закону должно двигаться тело, чтобы для вычисления его средней скорости можно было использовать формулу $\[v_{\text{средн}} = \frac{{{v_{\text{нач}}} + {v_{\text{кон}}}}} {2}\]$

-- Вт авг 03, 2010 21:53:00 --

Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути к соотв. времени.

-- Вт авг 03, 2010 21:57:19 --

Решение там такое: заметим, что если ускорение константа, то это выполнено. Потом без док-но говорится, что только в этом случае это выполнено.

[Архипов]

ShMaxG в сообщении #342456 писал(а):

Точная формулировка задачи:

По какому закону должно двигаться тело, чтобы для вычисления его средней скорости можно было использовать формулу $\[v_{\text{средн}} = \frac{{{v_{\text{нач}}} + {v_{\text{кон}}}}} {2}\]$
Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути к соотв. времени.
Решение там такое: заметим, что если ускорение константа, то это выполнено. Потом без док-но говорится, что только в этом случае это выполнено.

По-моему, задача не корректна, так как
1) не указаны возможные значения начальной и конечной скоростей (больше? меньше? равны?).
2) рассматривается движение на одном отрезке либо на любом отрезке пути, где мгновенная (текущая) скорость подчиняется искомому закону?
(уважаемый gris уже уточнил условие: для любого отрезка).
Иначе к указанной формуле подходят:
*равномерное движение
*равноускоренное движение
* движение по любому закону, когда среднеарифметическое значение нач. и кон. скоростей на одном отрезке случайно окажется равным средней скорости на этом отрезке.