Интерполяция на плоскости

[sergeik]

Здравствуйте.
При решении плоских нестационарных задач гидродинамики методом конечных элементов (вернее, похожим на него) встал вопрос улучшения качества расчетной сетки. Предположим, что в момент времени $t_n$ найдено расположение расчетных узлов в области и значения функций в них (скорость и давление). Затем запускается процесс релаксации расчетной сетки (по K. Shimada), во время которого узлы сетки стремятся занять такое положение, чтобы выстроились равносторонние треугольники. Как вычислить (интерполировать) значения функций скорости и давления для нового расположения расчетных узлов на основе значений, вычисленных в узлах $t_n$ по времени шаге?

[rush]

линейно, например

[sergeik]

Проблема в том, что бы при улучшении сетки можно потерять точность всего расчета за счет интерполяции. Поэтому хотелось бы как можно точнее интерполировать значения на новую сетку, иначе нет смысла вообще улучшать сетку.

[ewert]

Сильно Вы ухудшите вряд ли: погрешность линейной интерполяции имеет квадратичный порядок точности и МКЭ -- тоже (он, собственно, и основан, говоря по существу, на линейной интерполяции). Другое дело, что не вполне тривиальная задача -- поймать тот старый треугольник, в который попадёт новый узел, он ведь может уплыть достаточно далеко. Т.е. подзадача эта не то что трудная, но вопрос в том, как её эффективнее реализовать.

[мат-ламер]

На треугольниках можно интерполировать сплайном третьего порядка.

[sergeik]

Пока параллельно искал ответы на тему интерполяции на плоскости, наткнулся на форум http://faqs.org.ru/forum/viewtopic.php?f=5&t=8406. Там рекомендуют в качестве одного из решений использовать интерполяцию Сибсона. Мы как раз расчеты проводим методом естественных соседей NEM (по своей сути - МКЭ), использующий интерполяцию Сибсона и Лапласа (non-Sibsonian), которая дает более точный результат, нежели линейная интерполяция МКЭ. Как получим результаты сравнения обоих подходов (Сибсон и линейная), сообщу результаты.
Вопрос с эффективной привязкой к старой сетке - действительно сложный. Но ведь уже давно расчеты научились проводить на подвижных сетках, неужели нет эффективного решения?

Где можно почитать подробнее о кубическом сплайне на плоскости (или в треугольнике)? Большинство классических книг по сплайнам начинаются со слов: "пусть задана прямоугольная равномерная сетка...".

[мат-ламер]

О кубических сплайнах на треугольной сетке я читал в книге Завьялова, Квасова, Мирошниченко. Заглавие точно не помню.

[sergeik]

Спасибо за совет, знаю такую книгу, поищу там.