Векторное произведение

[Kitozavr]

ShMaxG в сообщении #340028 писал(а):

А еще есть вопрос такой: почему числа с разными размерностями складывать нельзя, а умножать можно

А вот почему:
Умножение $N$(размерность 1) на $M$(размерность 2) значит $N+N...$ $M$ раз, то есть мы складываем числа с одинаковой размерностью.

[ShMaxG]

В общем я думаю, что длина вектора векторного произведения и площадь параллелограмма совпадают только численно, но не по размерности.
Пока в голову ничего не приходит.

-- Вт июл 20, 2010 17:16:03 --

Kitozavr
Баян (надо же, все мыслят одинаково). А вот $2 * \sqrt{3}$ - это по Вашему сложить двойку с собой $\sqrt{3}$ раз?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #340034 писал(а):

Пока в голову ничего не приходит.

И правильно не приходит. Ибо вопрос откровенно бессмысленен. Размерность произведения не совпадает, естественно, с размерностью сомножителей (кроме, конечно, случая, когда хотя бы один из сомножителей безразмерен). Ну и што?...

[terminator-II]

Для тех кто не избрал ewert своим пророком и не считате его мнение высшей истиной не требующей обоснования:

ewert в сообщении #340032 писал(а):

Конечно, никуда не уйдёт. Куда в принципе могла бы уйти противоречивость, которой и изначально-то не было.

советую всеже задуматься над вопросом про векторное произведение, который я поставил. Корректное определение этого объекта, свободное от проблем с размерностью, можно посмотреть в Ефимове Розендорне Линейная алгебра и многомерная геометрия и у Постникова Лекции по геометрии семестр 1-2

[Kitozavr]

ShMaxG в сообщении #340034 писал(а):

А вот $2 * \sqrt{3}$ - это по Вашему сложить двойку с собой $\sqrt{3}$ раз?

Да, а почему нет?

[ewert]

terminator-II в сообщении #340039 писал(а):

советую всеже задуматься над вопросом про векторное произведение, который я поставил.

да в чём вопрос-то?!...

В чём реально есть вопрос -- это что векторное произведение есть не вектор, а всего лишь псевдо. Но этот вопрос -- ни малейшего отношения к размерностям не имеет.

[neo66]

ewert в сообщении #340041 писал(а):

... векторное произведение есть не вектор, а всего лишь псевдо.

Разве не вектор? А что?

[terminator-II]

ewert в сообщении #340041 писал(а):

это что векторное произведение есть не вектор, а всего лишь псевдо

во-первых не псевдо, а аксиальный вектор -- это не одно и тоже. Но аксиальность это проблема номер два в "классическом определении", а есть еще проблема с размерностью, про которую я написал. Читайте, ссылки даны.

[ShMaxG]

neo66
Дело в том, что у некоторых векторов направление зависит от выбора т.н. направления вращения (или выбора правой или левой тройки системы координат). Они называются псевдовекторами (или аксиальными векторами). Остальные можно называть истинными векторами. Векторное произведение двух истинных векторов (как и двух псевдовекторов) дает псевдовектор. А псевдовектра на истинный - дает истинный.

-- Вт июл 20, 2010 17:53:49 --

terminator-II
А чем отличается аксиальный вектор от псевдовектора? Например в "Курсе общей физики" Савельева разницы нет. В английской википедии тоже написано, что это одно и то же.

[ewert]

terminator-II в сообщении #340048 писал(а):

, а есть еще проблема с размерностью, про которую я написал.

Да нет никаких проблем. Если б они были бы, то начались бы гораздо раньше -- ещё со скалярного произведения, которое тоже имеет размерность площади, хотя никакой площадью и не является. Однако об этой проблеме -- Вы зачем-то умолчали.

[terminator-II]

ShMaxG в сообщении #340049 писал(а):

А чем отличается аксиальный вектор от псевдовектора?

законом преобразования координат при замене базиса, я не хочу сюда стандартные формулы виписывать, ссылки даны

ewert в сообщении #340051 писал(а):

Если б они были бы, то начались бы гораздо раньше -- ещё со скалярного произведения, которое тоже имеет размерность площади, хотя никакой площадью и не является. Однако об этой проблеме -- Вы зачем-то умолчали.

Скалярное произведение это скаляр имеющий размерность площади. Нет противоречия
А векторное произведение это, в соответствие с "классическим определением", вектор модуль (длина) которого имеет размерность площади. (

[ewert]

terminator-II в сообщении #340052 писал(а):

Скалярное произведение это скаляр имеющий размерность площади. Где противоречие?
А векторное произведение это вектор модуль (длина) которого имеет размерность площади.

Совершенно верно. И где тут противоречие?...

[terminator-II]

в том, что длина не должна измеряться в квадратных метрах.

[ewert]

terminator-II в сообщении #340054 писал(а):

в том, что длина не должна измеряться в квадратных метрах.

Тогда и скаляр не имеет права выражаться в кубических килограммах.

(Меня, конечно, тянет загнуть что-нить про унитарность, из-за которой само понятие размерности лишается смысла, но -- не хочу, из прынцыпу. Не-по-де-лу-э-то.)

[Pixar]

ShMaxG в сообщении #339978 писал(а):

Pixar в сообщении #339941 писал(а):

А как из определения вывести уравнение? Я вот способен только на вышенаписанную системку. А как формулой задать направление и размер будущего вектора (не учитывая той формулы на вики, где уже всё включено :))?

Какое уравнение? Может формулу, по которой вычислять векторное произведение? Наиудобнейшая - через определитель. Выводится она очень просто: подставляете заместо исходных векторов их разложение по базису (он должен быть правым, ортонормированным). Вот и все.

Нет, я имел в виду, нельзя ли составить уравнения плоскости на основании двух данных векторов, а уже из этого уравнения вытащить координаты нормали? Хотелось бы увидеть способ, который не опирается на равенства $i\times j = k, j\times k = i \dots$ В общем, выходит, что это вопрос о том, можно ли найти нормаль к плоскости, в которой лежат вектора, не используя векторное произведение.