Почему п-докс Рассела нельзя считать док-вом от противного?

[незваный гость]

Dims писал(а):

ИНОГДА нельзя назвать множествами.

А как определять будем -- это можно, а это нельзя? Нет уж, П.Р. говорит, что метод определения в принципе никуда не годится.

Dims писал(а):

Будем конструировать биекцию R ввиде множества из элементов вида {n, {r, {n,r}}},

Технически достаточно $B=\{\{n, \{r\}\}\}$, что не меняет Вашего построения по сути. Осталось только предикат написать, не выходя за пределы множества.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Dims писал(а):

Сформулирую словами.

Тут, к сожалению, словами не годится. Чтобы понять, что происходит, приходится быть очень формальным. Таковы основания математики…

[Brukvalub]

Dims писал(а):

...
Что значит "построили"? Мы записали на своём языке описание некоторого объекта. Это не значит, что мы его построили, мы его просто описали, указали его свойства....

Вернитесь еще раз к очень грубой, но действенной аналогии: Кольцо целых чисел (К.Ц.Ч.) - наивная теормя мн-в, тогда операции с целыми числами в колъце -это аппарат первой теории, а действия с множествами - аппарат второй теории. Приведите аналогичный П.Р пример действий в К.Ц.Ч., которые приводят к несуществующему объекту? Не получается - поэтому мы всегда доверяем таким вычислениям, а "вычислениям" в наивной теории множеств доверять нельзя - ну и кому нужна такая убогая теория?

[Macavity]

Dims писал(а):

Macavity писал(а):

А я думаю, что не-A означает "существует..."

В таком случае, к противоречию приводит только B_1,B_2, ..., B_n, не-A, а B_1,B_2, ..., B_n, A не приводит.

Dims писал(а):

Macavity писал(а):

А я думаю, что не-A означает "существует..."

В таком случае, к противоречию приводит только B_1,B_2, ..., B_n, не-A, а B_1,B_2, ..., B_n, A не приводит.

B=\exists R \forall x \in R (x \notin x)

\left\{ \begin{array}{l} A: R \in R \Rightarrow R \notin R=\overline A \Rightarrow A \wedge \overline A=false,\\ \overline A: R \notin R \Rightarrow R \in R =A \Rightarrow \overline A \wedge A=false, \end{array} \right.

\Rightarrow B=false;

[Dims]

незваный гость писал(а):

Dims писал(а):

ИНОГДА нельзя назвать множествами.

А как определять будем -- это можно, а это нельзя?

При помощи доказательств существования, как же ещё?

Цитата:

Dims писал(а):

Будем конструировать биекцию R ввиде множества из элементов вида {n, {r, {n,r}}},

Технически достаточно $B=\{\{n, \{r\}\}\}$, что не меняет Вашего построения по сути. Осталось только предикат написать, не выходя за пределы множества.

Что это значит? Почему именно так? Вы считаете, что указанную биекцию записать невозможно? Несуществование чего тогда доказывается диагональной процедурой?

Добавлено спустя 4 минуты 38 секунд:

Macavity писал(а):

...

Ну вот! Чем не доказательство от противного?

[Macavity]

Dims писал(а):

Macavity писал(а):

...

Ну вот! Чем не доказательство от противного?

Вы не правы.
В доказательстве от противного
Надо доказать, что B=true, то B \Rightarrow A
Для этого доказывается, что B \wedge \overline A = false
и получаем, что A=true

А в нашем случае
B=true
B \wedge \overline A = false
B \wedge A = false
получаем, что B=false

или true \Rightarrow false
с точки зрения правил логического вывода такое просто невозможно, в этом и парадокс.

[Dims]

Macavity писал(а):

В доказательстве от противного
Надо доказать, что B=true, то B \Rightarrow A

Не понял. Почему так?

На мой взгляд, в доказательстве от противного надо доказать, что $B$
Или, что тоже самое $B=1$ (1 -- это истина)
Или, что тоже самое $\lnot B=0$ (0 -- это ложь)
Или, что тоже самое $\lnot \lnot B=1$
Или, что тоже самое $\lnot \lnot B \lor 0=1$
Или, что тоже самое $\lnot B \to 0=1$
Или, что тоже самое $\lnot B \to 0$

Какие ложные высказывания пойдут у нас вместо последней 0 -- это уже неважно. Это может быть и $0=1$ и $\lnot (C \land D) \land \lnot (C \land \lnot D)$, без разницы.

Неправильно?

Цитата:

А в нашем случае
B=true
B \wedge \overline A = false
B \wedge A = false
получаем, что B=false

или true \Rightarrow false
с точки зрения правил логического вывода такое просто невозможно, в этом и парадокс.

Почему невозможно, это просто ложная импликация и всё. Иными словами, предположение B=true повлекло за собой ложное утверждение. Что и есть ход доказательства от противного.

[Macavity]

Dims писал(а):

Почему невозможно, это просто ложная импликация и всё. Иными словами, предположение B=true повлекло за собой ложное утверждение. Что и есть ход доказательства от противного.

Ну тогда возьмите отрицание B за истину.
Тогда окажется, что уже пустое множество опровергает \overline B.

[незваный гость]

Dims писал(а):

При помощи доказательств существования, как же ещё?

Доказывать существование чего, простите? Когда Вы доказываете существование объекта, Вы доказываете существование объекта с нужными Вам свойствами в некотором множестве. Например, что существует натуральное число, такое что… или что существует функция… Но само множество объектов уже определено и существует. Здесь же весь вопрос — а есть ли множество? Моножество ли это?

Dims писал(а):

Почему именно так? Вы считаете, что указанную биекцию записать невозможно? Несуществование чего тогда доказывается диагональной процедурой?

Почесу имнно так — да не обязательно так. Я же сказал технически проще. Эта нотация — околостандартная нотация для множества упорядоченных пар, не боле того. А любая функция — это подмножество декартова произведения множества определения и множества значений. По определению.

Я не говорил, что биекцию записать невозможно. Конечно, возможно. Мое впечатление, однако, что для описания биекции Вам потребуется описывать ее как элемент множества биекций. Т.е. предикат получится не в множестве пар.

Диагональной процедурой доказывается, что не существует элемента множества биекций, удовлетворяющего нужным нам свойствам. То есть множество нужных нам биекций пусто.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Математику, в известном смысле, можно рассматривать как конструктор. Имея теорию множеств, можно построить арифметику натурального ряда. Из него — множество вещественных чисел (сечения дедекинда), комплексные числа и т.д. Но стоит из под этой конструкции выдернуть теорию множеств (более точно, основания математики), и все рассыпается. Более того, все, что мы используем как скороговорку — последовательность, функция, операция сравнения — получают свой точный смысл именно через «множественные» определения. Отсюда и важность теории множеств.

[Dims]

незваный гость писал(а):

Когда Вы доказываете существование объекта, Вы доказываете существование объекта с нужными Вам свойствами в некотором множестве. Например, что существует натуральное число, такое что… или что существует функция… Но само множество объектов уже определено и существует.

Ну так так же и тут: есть множество всех множеств, которое существует. Какие проблемы со множеством всех множеств? Себя оно содержит, во всяком случае.

Цитата:

Я не говорил, что биекцию записать невозможно. Конечно, возможно. Мое впечатление, однако, что для описания биекции Вам потребуется описывать ее как элемент множества биекций.

Ну да, допустим. А что в этом плохого?

Цитата:

Диагональной процедурой доказывается, что не существует элемента множества биекций, удовлетворяющего нужным нам свойствам. То есть множество нужных нам биекций пусто.

Ну а почему тут нельзя рассматривать точно так же, что множество нужных нам множеств (то есть, не содержащих самого себя) пусто?

Цитата:

Но стоит из под этой конструкции выдернуть теорию множеств (более точно, основания математики), и все рассыпается.

Я этот факт не подвергаю сомнению. Мой вопрос в другом -- зачем нужны аксиомы, суть которых сводится к тому, чтобы запретить существование некоторых множеств, которые и без этих аксиом "прекрасно" не сущетсвуют?

Добавлено спустя 37 секунд:

Macavity писал(а):

Ну тогда возьмите отрицание B за истину.
Тогда окажется, что уже пустое множество опровергает \overline B.

Не понял. Можно поподробнее? Я не понимаю с такой скоростью...

[juna]

Я заранее извиняюсь за offtopic. Просто стало интересно, какие противоречия получаются если формализовать парадокс Рассела (в популярной форме) силлогистикой Аристотеля:
Посылки:
1. Ни один бреющиеся сами не есть бреющиеся с помощью цирюльника
2. Все цирюльник есть бреющиеся сами
3. Все цирюльник есть бреющиеся с помощью цирюльника
Выводы:
1. Ни один бреющиеся с помощью цирюльника не есть бреющиеся сами
2. Ни один цирюльник не есть бреющиеся с помощью цирюльника
3. Некоторые цирюльник не есть бреющиеся с помощью цирюльника
4. Ни один цирюльник не есть бреющиеся сами
5. Некоторые цирюльник не есть бреющиеся сами
6. Ни один бреющиеся с помощью цирюльника не есть цирюльник
7. Некоторые бреющиеся с помощью цирюльника не есть цирюльник
8. Некоторые бреющиеся сами есть бреющиеся сами
9. Некоторые бреющиеся сами не есть бреющиеся с помощью цирюльника
10. Некоторые бреющиеся с помощью цирюльника есть бреющиеся сами
11. Некоторые бреющиеся с помощью цирюльника не есть бреющиеся с помощью цирюльника
12. Некоторые бреющиеся сами не есть бреющиеся сами
13. Ни один цирюльник не есть цирюльник
14. Некоторые цирюльник не есть цирюльник
15. Некоторые бреющиеся сами не есть цирюльник
16. Ни один бреющиеся сами не есть цирюльник
17. Некоторые бреющиеся сами есть бреющиеся с помощью цирюльника
18. Некоторые бреющиеся с помощью цирюльника есть бреющиеся с помощью цирюльника
19. Некоторые бреющиеся с помощью цирюльника не есть бреющиеся сами

Здесь выделены явные противоречия. При определенных условиях их можно избежать см.

[незваный гость]

Попробуйте сделать то, что Вы говорите можно сделать. Тогда появится возможность обсудить детали. Не примите за критику, это действительно лучший путь понять, что же происходит.

В целом, разница состоит в том, что в одном случае мы доказываем пустоту множества, а в другом, что некий объект (по всем признакам множество), таковым не является. Первое не создает проблемы в теории, второе — создает.

[Dims]

незваный гость писал(а):

Попробуйте сделать то, что Вы говорите можно сделать.

Почему нельзя просто записать значками то, что я написал словами? У меня получается очень громоздко записать, что элементы искомого множества имеют вид {n,{r}}.

Цитата:

В целом, разница состоит в том, что в одном случае мы доказываем пустоту множества, а в другом, что некий объект (по всем признакам множество), таковым не является. Первое не создает проблемы в теории, второе — создает.

Вот эту проблему-то я и не могу понять.

[незваный гость]

Отредактировано:
Ну так пишите $\B=\{(n,r)\}$, кто же против. Просто условимся, что $(n,r)$ обозначает $\{n, \{r\}\}$, и вся любовь. Кстати, не надо записывать, что элементы множества имеею определенный вид. Это достаточно просто: ${\mathbb N} \times {\mathbb R} = \{(n, r): n \in {\mathbb N} \wedge r \in {\mathbb R}\}$, ${\mathfrak R} = \{R \subseteq {\mathbb N} \times {\mathbb R}\}$ определяет множество отношений ${\mathbb N}$ и ${\mathbb R}$, частным случаем которого являются биекции подмножеств. Поэтому пишем: $B \in {\mathfrak R}$ и дальше.

А что длинно, то тут уж Вам никто не поможет. Как и нет ответа, почему нельзя. Потому, что можно.

[Macavity]

Dims писал(а):

Macavity писал(а):

Ну тогда возьмите отрицание B за истину.
Тогда окажется, что уже пустое множество опровергает \overline B.

Не понял. Можно поподробнее? Я не понимаю с такой скоростью...

Что-то я уже запутался. Как сказал герой одной книги - "С Вами забудешь как в бабочку превращаться".

На самом деле кажется так. Любое множество, по определению, можно описать с помощью свойств, присущих его элементам. В нашем случае доказывается, что элементов с данным свойством не существует (R = \{x: x \notin x\}) . То есть, результат пустое множество.
А false предиката B (B=\exists R \forall x \in R (x \notin x)) показывает, что таких множеств вообще не существует. Но пустое множество существует и получаем противоречие.

[Someone]

Dims писал(а):

Someone писал(а):

]Парадокс Рассела относится к первоначальному варианту наивной теории множеств, в которой любые совокупности множеств являются множествами.

Да, я читал об этом. Но не пойму, в чём проблема с этой теорией.

Это первоначальная канторовская теория множеств, в которой считалось, что любая совокупность множеств является множеством. Парадокс Рассела и показывает, что такое "определение" недопустимо.

Dims писал(а):

Цитата:

В аксиоматической теории множеств парадокса Рассела нет,

Да, потому что фигурирующие в нём объекты запрещены какой-нибудь аксиомой. И вот мне непонятно, нафига запрещать эти объекты аксиомой, если сам парадокс Рассела является теоремой, которая доказывает то же самое?

Нет, аксиомы теории множеств специально ничего не запрещают. Напротив, аксиомы теории множеств - это разрешение выполнять определённые построения: например, строить бесконечное множество, строить множество подмножеств, строить пару, выделять часть уже существующего множества и т.п.. В аксиоматической теории множеств "определение" $\{x:x\notin x\}$ никакого множества не определяет, так как среди аксиом теории множеств нет разрешающей строить множества типа $\{x:\varphi(x)\}$. Там есть аксиома, разрешающая строить множества типа $\{x:x\in y\&\varphi(x)\}$. Поэтому рассуждения Рассела просто показывают, что объект $\{x:x\notin x\}$ не является множеством. Если в теории нет никаких объектов, кроме множеств, то объект $\{x:x\notin x\}$ просто не существует. Если теория допускает существование классов, то такой объект может существовать, но множеством он не будет; в частности, он не может быть элементом какого-либо класса.

Подробнее можно посмтотреть в литературе. Например:

Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. "Наука", Москва, 1982.