Как сформулировать задачу двух тел в электродинамике

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #339831 писал(а):

Во-первых, далеко не очевидно как Вам предложенное поможет. Если не сложно - поясните.

Ну, например, чтобы в общем виде получить уравнение движения. Пусть
$L=-m_1 c^2 \sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_1^2}{c^2}}-m_2 c^2 \sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_2^2}{c^2}}-\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1-\frac{(\overrightarrow V_1 \overrightarrow V_2)}{c^2}}{R_{12}}$
Тогда уравнение движения (для первой частицы) получаем в виде:
$\frac{d}{dt}(\frac{m_1 \overrightarrow V_1}{\sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_1^2}{c^2}}})=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0}(\nabla _1 (\frac{-1}{R_{12}})-\frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\overrightarrow V_2}{R_{12}})+[\frac{\overrightarrow V_1}{c}\times[\frac{\overrightarrow V_2}{c}\times }\nabla _1 (\frac{-1}{R_{12}})]])$
Правильно?
Зато явно видно, что тут электрическое, а что - магнитное.

myhand в сообщении #339831 писал(а):

Во-вторых. Само предположение неверно. Т.к. зависит, пусть и функциональным образом. См. ЛЛ т.II, гл. VIII.

или неправильно?

[myhand]

Soshnikov_Serg в сообщении #339843 писал(а):

myhand в сообщении #339831 писал(а):

Во-первых, далеко не очевидно как Вам предложенное поможет. Если не сложно - поясните.

Ну, например, чтобы в общем виде получить уравнение движения.

Ну хоть приблизительное-то представление об "уравнение движения" стоит для себя предварительно составить. Разве нет? Ссылки на учебники уже давали.

Soshnikov_Serg в сообщении #339843 писал(а):

Пусть
$L=-m_1 c^2 \sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_1^2}{c^2}}-m_2 c^2 \sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_2^2}{c^2}}-\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1-\frac{(\overrightarrow V_1 \overrightarrow V_2)}{c^2}}{R_{12}}$
Тогда уравнение движения (для первой частицы) получаем в виде:
$\frac{d}{dt}(\frac{m_1 \overrightarrow V_1}{\sqrt{1-\frac{\overrightarrow V_1^2}{c^2}}})=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0}(\nabla _1 (\frac{-1}{R_{12}})-\frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\overrightarrow V_2}{R_{12}})+[\frac{\overrightarrow V_1}{c}\times[\frac{\overrightarrow V_2}{c}\times }\nabla _1 (\frac{-1}{R_{12}})]])$
Правильно?
Зато явно видно, что тут электрическое, а что - магнитное.

myhand в сообщении #339831 писал(а):

Во-вторых. Само предположение неверно. Т.к. зависит, пусть и функциональным образом. См. ЛЛ т.II, гл. VIII.

или неправильно?

Нет, неправильно.

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #339851 писал(а):

Ну хоть приблизительное-то представление об "уравнение движения" стоит для себя предварительно составить. Разве нет? Ссылки на учебники уже давали.

Ну, тогда уж о лагранжиане, наверное. Тут, согласен, некорректен.

[myhand]

Да нет, речь именно об уравнениях движения. То что Вы написали - вполне имеет смысл. Но это приближение, называется лагранжиан Дарвина. Только приближенно задачу двух тел можно поставить как механическую.

Ну вот что у Вас за $R_{12}$? $V_1$ и $V_2$? Ну загляните в учебник - посмотрите как выглядит поле точечного заряда в общем случае.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #339887 писал(а):

Да нет, речь именно об уравнениях движения. То что Вы написали - вполне имеет смысл. Но это приближение, называется лагранжиан Дарвина. ...

ПМСМ даже в этом случае не всё ясно...
Kirk T. McDonald "Парадоксы энергии Дарвина."
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/e ... darwin.pdf

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #339887 писал(а):

Ну загляните в учебник - посмотрите как выглядит поле точечного заряда в общем случае.

Да и заглянул, и перечитал, и ...
$t'$ вместо $t$ Вы имеете ввиду? Ну, это понятно. Наверно тут вот какое выражение первоначально не могло иметь смысла (например):
$U_{1i} U_2^i$
из-за разных собственных времен. Тогда и более одного тела расматривать нет смысла. Разве что в нерелятивистском пределе.
От засада...

А за Дарвина - спасибо

[myhand]

В. Войтик в сообщении #339900 писал(а):

myhand в сообщении #339887 писал(а):

Да нет, речь именно об уравнениях движения. То что Вы написали - вполне имеет смысл. Но это приближение, называется лагранжиан Дарвина. ...

ПМСМ даже в этом случае не всё ясно...
Kirk T. McDonald "Парадоксы энергии Дарвина."
http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/e ... darwin.pdf

Что конкретно не ясно?

Soshnikov_Serg в сообщении #339901 писал(а):

myhand в сообщении #339887 писал(а):

Ну загляните в учебник - посмотрите как выглядит поле точечного заряда в общем случае.

Да и заглянул, и перечитал, и ...
$t'$ вместо $t$ Вы имеете ввиду? Ну, это понятно. Наверно тут вот какое выражение первоначально не могло иметь смысла (например):
$U_{1i} U_2^i$
из-за разных собственных времен. Тогда и более одного тела расматривать нет смысла. Разве что в нерелятивистском пределе.
От засада...

Ох, да там никакие выражения пока не имеют смысла. Вам объяснили - постановка задачи "как в механике" - невозможна в принципе. Т.е. с лагранжианом, который зависит от мгновенных координат и скоростей зарядов.

Было бы проще, если бы Вы объяснили чего конкретно Вы добиваетесь, в чем состоит задача. Во-вторых, полезно иметь хорошую привычку пояснять свои обозначения. $U_{1i}$ - это что? $R_{12}$? $V_1$ и $V_2$?

[В. Войтик]

myhand в сообщении #339904 писал(а):

Что конкретно не ясно?

Kirk T. McDonald (а я это посчитал лет 15 назад, а может больше..) если я его правильно понял обратил внимание на то, что прямое вычисление энергии электромагнитного поля в системе двух медленно движущихся зарядов при пренебрежении членами порядка $\frac{1}{c^3}$ даёт следующее выражение
$E_e=\frac{e_1e_2}{R_{12}}$ -энергия электрического поля
$E_m=\frac{e_1e_2}{2R_{12}}$ $(\mathbf{v_1v_2}+\mathbf{(v_1n_{21})(v_2n_{21})})$
-энергия магнитного поля.
$c=1$
Общая энергия системы зарядов есть
$E=E_1+E_2+E_e+E_m$ . Если отсюда восстановить лагранжиан системы зарядов, то известный лагранжиан Дарвина не получится. Получится похожее выражение (за исключением знака в последнем члене):
$L=L_1+L_2-E_e-E_m$ .
Здесь $E_1$, $L_1$ - энергия и лагранжиан свободной 1 частицы. Все величины берутся в один (настоящий) момент времени.
Такое разногласие в уравнениях движения при подсчёте двумя способами непонятно .

[myhand]

В. Войтик в сообщении #339909 писал(а):

Общая энергия системы зарядов есть
$E=E_1+E_2+E_e+E_m$ . Если отсюда восстановить лагранжиан системы зарядов, то известный лагранжиан Дарвина не получится. Получится похожее выражение (за исключением знака в последнем члене)

Думаю, проблема в "процедуре" восстановления лагранжиана системы зарядов.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #339911 писал(а):

Думаю, проблема в "процедуре" восстановления лагранжиана системы зарядов.

Не могли бы Вы пояснить?

[myhand]

В. Войтик в сообщении #339914 писал(а):

myhand в сообщении #339911 писал(а):

Думаю, проблема в "процедуре" восстановления лагранжиана системы зарядов.

Не могли бы Вы пояснить?

Не могу, по вполне естественным причинам (не телепат). Вы подразумеваете, очевидно, какую-то известную Вам процедуру ("Если отсюда восстановить лагранжиан системы зарядов"). Совершенно не обязательно - другие о ней вкурсе. Может по недостатку знаний - а может потому, что смыслу в сей процедуре чуть менее чем полностью нет...

[В. Войтик]

myhand в сообщении #339925 писал(а):

Не могу, по вполне естественным причинам (не телепат). Вы подразумеваете, очевидно, какую-то известную Вам процедуру ("Если отсюда восстановить лагранжиан системы зарядов"). Совершенно не обязательно - другие о ней вкурсе.

Ну может быть я неудачно выразился...Можно ведь сказать и по другому. Если из лагранжиана Дарвина найти энергию системы зарядов -

Цитата:

Может по недостатку знаний - а может потому, что смыслу в сей процедуре чуть менее чем полностью нет...

то получится, что всё сходится . Я почему-то думал, что малая добавка в лагранжиане эквивалентна ей же с обратным знаком в энергии. Однако это так только для потенциальной энергии (зависящей от расстояния). Если же энергия зависит от скорости (а скорости в добавку входят квадратично), то малая добавка в лагранжиане эквивалентна ей же (с тем же знаком) в энергии.
Так, что Вы правы. 2 разных способа дают одинаковый результат - лагранжиан Дарвина.

-- Вт июл 20, 2010 08:08:33 --

В. Войтик в сообщении #339952 писал(а):

Я почему-то думал, что малая добавка в лагранжиане эквивалентна ей же с обратным знаком в энергии. Однако это так только для потенциальной энергии (зависящей от расстояния). Если же энергия зависит от скорости (а скорости в добавку входят квадратично), то малая добавка в лагранжиане эквивалентна ей же (с тем же знаком) в энергии.

Тогда вызывает вопрос справедливость формулы (65.8) ЛЛ т. 2. В гамильтониан квадратичная добавка по импульсам должна войти с тем же знаком, что и в лагранжиан.

[myhand]

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #339952 писал(а):

Если же энергия зависит от скорости (а скорости в добавку входят квадратично), то малая добавка в лагранжиане эквивалентна ей же (с тем же знаком) в энергии.

Да ну? Мало того, что утверждение бездоказательно, да еще и контрпример элементарный совершенно: $L=\frac{{\dot q}^2}{2}+\epsilon f(q) \frac{{\dot q}^2}{2}$. Имеем: $H = p \dot q - L \approx\frac{p^2}{2}(1 - \epsilon f)$.

[В. Войтик]

Имеем
$E_e=\frac{e_1e_2}{R_{12}}$ -энергия электрического поля
$E_m=\frac{e_1e_2}{2R_{12}}$ $(\mathbf{v_1v_2}+\mathbf{(v_1n_{21})(v_2n_{21})})$
-энергия магнитного поля. Лагранжиан Дарвина есть
$L=L_1+L_2-E_e+E_m$ .
Гамильтониан Дарвина вычисляется обычным образом
$H=E=\mathbf{v_1}\frac{dL}{d\mathbf{v_1}}+\mathbf{v_2}\frac{dL}{d\mathbf{v_2}}-L$ (*)
Если Вы посчитаете это выражение, то из-за того, что добавка $E_m$ квадратична по скоростям и того, что здесь система двух частиц получится
$H=E=E_1+E_2+E_e+E_m$. (**)
Другими словами одна из производных добавки по скорости какой-либо частицы умноженная на скорость (например первый член в (*)) сокращается с самой добавкой и в результате остаётся другая производная (второй член в (*)) умноженная на скорость, которая и является самой добавкой. По этой причине в (**) правильный знак + при $E_m$
Это означает, что в (65.8) надо в последнем члене поменять знак.

[myhand]

(Оффтоп)

Простите, но гамильтониан от импульсов зависит вообще-то. Делаем нормальное преобразование Лежандра (которое строго говоря даже неединственно получается - там для скоростей кубические уравнения) - получаем гамильтониан. А не то, что Вы назвали "вычисляется обычным образом".

Не говоря уже о том, что после преобразования Лежандра нужно еще определенные приближения сделать - иначе никакого полиноминального по импульсам гамильтониана Вы не получите... Классики не зря "схитрили" и пошли по другому пути.