Возведение в степень

[PAV]

Хорошо, а если взять $(x+y)^r$, как сделал STilda?

[AD]

PAV в сообщении #337368 писал(а):

Хорошо, а если взять $(x+y)^r$, как сделал STilda?

Ну, во-первых, так не надо брать (даже если ты STilda ), во-вторых, видимо, придется отделаться $(1+(x-1))^r\cdot\bigl(1+\frac yx\bigr)^r$.

(P.S.)

Предлагаю теперь еще перенести тему в "вопросы преподавания", потому что мы тут в-основном обсуждаем, как надо вводить комплексные числа и возведение в степень

[ewert]

(Оффтоп)

AD в сообщении #337410 писал(а):

мы тут в-основном обсуждаем, как надо вводить комплексные числа и возведение в степень

нет, мы тут обсуждаем, как их не надо вводить. Основания -- далеко-далеко не все, и теряется принципиальная для комплексности многозначность, и вообще, вот

[STilda]

Shtirlic в сообщении #337342 писал(а):

Я с таким же успехом могу сказать, что оператор который переводит из пространства рациональных чисел в пространство действительных чисел, и не является числом.

Вы можете сказать что значок корня - оператор переводящий из рациональных в действительные и с этим я соглашусь. Также вы можете заменить значок корня на букву, например $j$ и использовать вместо $\sqrt 2$ запись $2j$ и все будет верно. Так же вы должны понять что $\sqrt 2$ это ОБОЗНАЧЕНИЕ нового элемента множества. (множества объектов, называемых числами). Также $\sqrt 2$ невозможно вычислить, а десятичное его представление это именно представление а не вычисленное значение.

Предлагаю пока что просмотреть второй замечательный предел, следствие первое, как оно доказывается. С позиций того что там комплексное $k$. Замечательные пределы

[Shtirlic]

STilda в сообщении #337434 писал(а):

Вы можете сказать что значок корня - оператор переводящий из рациональных в действительные и с этим я соглашусь. Также вы можете заменить значок корня на букву, например $j$ и использовать вместо $\sqrt 2$ запись $2j$ и все будет верно. Так же вы должны понять что $\sqrt 2$ это ОБОЗНАЧЕНИЕ нового элемента множества. (множества объектов, называемых числами). Также $\sqrt 2$ невозможно вычислить, а десятичное его представление это именно представление а не вычисленное значение.

Я знаю такие верные запись $i^2=-1,2i,i2$, а вот такие не встречал $(\sqrt)^2=a,2\sqrt$,2-,2+,+^2=a, где $a$ какое-то число. Видать $i$ какой-то особенный оператор!

[STilda]

Чесно, я не понимаю в чем у вас непонимание.
$(\sqrt)^2=a$ - это бессмыслица если $a$ число.
$2\sqrt$ - записи можно придать смысл $\sqrt 2$
$2-$ - записи можно придать смысл $-2$
$2+$ - записи можно придать смысл $+2$
$+^2=a$ - это бессмыслица если $a$ число.
Однако верным будет $(\sqrt)^2=E$, если $E$ - оператор, переводящий $a$ в $Ea$. И например, композиция его с собой $EE=E$

Может вы путаете $-$ как значок бинарной операции с унарным $-$ как обозначением обратного элемента?
$i$ никакой не особенный. Вероятно вам тяжело думать, что отрицательность и комплексность и положительность это понятия одного типа. Обозначьте унарный $-$ другой буквой $m$ а унарный $+$ другой буквой $p$ и будет вам счастие. Пишите $5m*2m=10p$

-- Вт июл 06, 2010 15:39:06 --

С учетом последнего $i^2=-1$ - не точная запись. Если записать ее как $i^2=1m$ то станет понятно почему.
Правильнее писать $(1i)^2=1m$ или же $i^2=m$

[Shtirlic]

STilda
Всему можно придать какой угодно смысл. Есть литература где бы использовались бы записи $(\sqrt)^2,2\sqrt$?

[AD]

Shtirlic, категорически присоединяюсь к Вашему последнему вопросу. Не знаю, почему я его до сих пор (за столько лет) не задал.

[STilda]

Посмотрите обратную польскую запись. Там $2 \sqrt$ используется.

Отвечаю на основной открытый вопрос.

AD в сообщении #336978 писал(а):

Вот Вам такое рассуждение, скажем. {0} и {1} равномощны как множества. В то же время, если мы введем "правило" 1-1=0, то из него не будет следовать, что 0-0=1.

Есть две ситуации. Первая, когда вводимое правило является аксиомой. Тогда вы правы, и из аксиомы 1-1=0 не следует аксиома 0-0=1. Вторая ситуация, когда мы имеем теоремное "правило", тоесть, которое можно доказать на базе некоторых аксиом. Тогда, в случае наличия симметрии в системе, можно доказать и симметричное "правило".

-- Сб июл 17, 2010 14:01:06 --

Относительно формулы Эйлера, либо это аксиома либо теорема. В виду того, что симметричная формула, противоречит ей делаем вывод, что доказываться формула Эйлера не может. Значит это аксиома.

[ewert]

STilda в сообщении #339631 писал(а):

Относительно формулы Эйлера, либо это аксиома либо теорема.

Это ни в коем случае не может быть аксиомой. Это или определение, или теорема. Согласно самому Эйлеру это -- теорема. А можно и наоборот.

[Shtirlic]

ewert в сообщении #339632 писал(а):

STilda в сообщении #339631 писал(а):

Относительно формулы Эйлера, либо это аксиома либо теорема.

Это ни в коем случае не может быть аксиомой. Это или определение, или теорема. Согласно самому Эйлеру это -- теорема. А можно и наоборот.

Если есть доказательство, то видать теорема. Только вопрос в том, что взяли тогда за определение, что разложение функции в ряд тейлора одинаково, что при комплексном, что при действитеьном аргументе? Или это тоже доказано?

[ewert]

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

Только вопрос в том, что взяли тогда за определение, что разложение функции в ряд тейлора одинаково,

Эйлер -- брал именно это. В те времена под функцией было принято понимать, как правило, нечто, задаваемое некоторым аналитическим выражением, вот на худой конец -- хотя бы и рядом.

[Someone]

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

разложение функции в ряд тейлора одинаково, что при комплексном, что при действитеьном аргументе? Или это тоже доказано?

1) Есть легко доказываемая теорема единственности разложения функции в степенной ряд, то есть, что если для двух степенных рядов с ненулевым радиусом сходимости $R$ при каком-нибудь $\varepsilon\in(0,R)$ для всех $x$, $|x-x_0|<\varepsilon$, выполняется равенство

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k=\sum_{k=0}^{\infty}a'_k(x-x_0)^k\text{,}$$

то $a_k=a'_k$ при всех $k=0,1,2,3,\ldots$. Это доказывается одинаково и для действительных, и для комплексных рядов. Единственное, что нужно знать - это теорему о непрерывности суммы степенного ряда.
2) Есть теорема единственности регулярной функции, из которой следует, что функцию, заданную на множестве действительных чисел (или хотя-бы на каком-нибудь интервале) можно продолжить в область на комплексной плоскости с сохранением условия дифференцируемости не более чем одним способом.
Точные формулировки смотрите в учебнике по ТФКП.
Отсюда следует, что основные элементарные функции (показательная, тригонометрические, гиперболические, логарифмическая, обратные тригонометрические и гиперболические, степенная) можно продолжить с действительной оси в комплексную плоскость только одним способом, если мы хотим, чтобы они остались дифференцируемыми. А также то, что разложение функции в степенной ряд, действующее для действительных значений переменной, сохраняется без изменения и для комплексных значений.

[ewert]

Someone в сообщении #339723 писал(а):

Есть теорема единственности регулярной функции,

Это правда, конечно, но при Эйлере никаких "регулярных функций" ещё не существовало. Он опирался на только интуицию.

[Shtirlic]

Someone в сообщении #339723 писал(а):

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

разложение функции в ряд тейлора одинаково, что при комплексном, что при действитеьном аргументе? Или это тоже доказано?

1) Есть легко доказываемая теорема единственности разложения функции в степенной ряд, то есть, что если для двух степенных рядов с ненулевым радиусом сходимости $R$ при каком-нибудь $\varepsilon\in(0,R)$ для всех $x$, $|x-x_0|<\varepsilon$, выполняется равенство

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k=\sum_{k=0}^{\infty}a'_k(x-x_0)^k\text{,}$$

то $a_k=a'_k$ при всех $k=0,1,2,3,\ldots$. Это доказывается одинаково и для действительных, и для комплексных рядов. Единственное, что нужно знать - это теорему о непрерывности суммы степенного ряда.
2) Есть теорема единственности регулярной функции, из которой следует, что функцию, заданную на множестве действительных чисел (или хотя-бы на каком-нибудь интервале) можно продолжить в область на комплексной плоскости с сохранением условия дифференцируемости не более чем одним способом.
Точные формулировки смотрите в учебнике по ТФКП.
Отсюда следует, что основные элементарные функции (показательная, тригонометрические, гиперболические, логарифмическая, обратные тригонометрические и гиперболические, степенная) можно продолжить с действительной оси в комплексную плоскость только одним способом, если мы хотим, чтобы они остались дифференцируемыми. А также то, что разложение функции в степенной ряд, действующее для действительных значений переменной, сохраняется без изменения и для комплексных значений.

То есть выходит, что как определение ввели только мнимую единицу, а остальное уже было доказанно? Такой вывод, собственно, и напрашиваеться, коль все работает.