Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья

[Андрей АK]

Хочу поднять один "детский" вопрос о корректности некоторых математических действий.

(Вообще-то это связано с мат. аппаратом СТО, но т.к. модераторы не спят, буду говорить только о математике).

Итак чем отличаются ковариантные вектора от контравариантных?

Рассмотрим две функции.

1) $f(x,y)$ и
2) $(x(t),y(t))$

Очевидно, в первом случае у нас одна переменная $f$ зависит от двух других переменных $x$ и $y$.
Во втором случае у нас две переменные $x$ и $y$ зависят от одной $t$.

Дифференциалы этих функций преобразуются соответственно.

$df(x,y) = f _x \dot$ dx + f _y \dot$ dy

$dx = x_t \dot$ dt , dy = y_t \dot$ dt

Каждые переменные ,при замене координат, ведут себя по разному.

Какие из переменных ковариантные, а какие контравариантные - зависит от того, что мы считаем основными переменными, а что производными.

Ведь можно и так посмотреть, что $f$ - это и есть основная координата (или у нас система функций $f_i$), а вот $x$ и $y$ - это функции от от этих неизвестных, и тогда матрица замены координат применяется не к тем, а к другим переменным.

Но что здесь характерно?
Здесь, четко различаются - вот входящие переменные (аргументы функции), вот исходящие.
Эти ,в данном контексте, - ковариантные, эти - контравариантные.

Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.
Т.е. $f = g_1(f,x,y) , x= g_2(f,x,y) , y= g_3(f,x,y) $ (или по переменным $x,y,t$)

И понятно почему.
Во первых существует такое замечательное свойство как: "полный дифференциал функции ,при замене координат, сохраняется".
Думаю оно (это свойство) оно не спроста ... ну это не какая-то бесполезная безделушка, которую всегда можно выкинуть за ненадобностью.

А ведь если мы делаем преобразования координат сразу по всем существующим переменным (т.е. по значению функции и по её аргументам) , не делая между ними никаких различий, то мы все полные производные превращаем в частные (а это далеко не безобидная потеря в строгости).

Я конечно понимаю, что в математике нет ограничений.

Если когда-то считалось некорректным извлечение квадратного корня из минус единицы, то теперь все обосновали, объяснили и пользуются ...

Это все хорошо... но есть ли обоснование корректности применения смешанных (ковариантно-контравариантных) преобразований?

Что происходит с полным дифференциалом?

Какие есть исследования на эту тему (я вот ищу и не могу найти).

Как я понимаю, истоки обоснования корректности подобных действий надо искать ... в теории множеств.

Как там определяется функция?

Имеется ДВА множества (которые правда могут совпадать по набору членов ... но формально это все-же два разных множества) и связь между этими двумя множествами ,в виде упорядоченных пар - есть функция.

Замена координат с точки зрения множеств - это простая перестановка элементов ... но внутри только одного множества - либо переставляются элементы множества образов... либо элементы множества прообразов.
Но никак не "образы меняются с прообразами, либо с другими образами по какому-то закону".

Так что же тогда ,с точки зрения теории множеств, ковариантно-контравариантная замена координат?

Это как раз, смешанная перестановка образов/прообразов друг с другом не взирая ... т.е. какой-то элемент может "перенестись" из образов в прообразы или остаться в образах - все зависит от формулы.

Так вот у меня вопрос: как такое можно назвать корректной математической операцией и где искать её обоснования?

[ewert]

Андрей АK в сообщении #339520 писал(а):

Но что здесь характерно?
Здесь, четко различаются - вот входящие переменные (аргументы функции), вот исходящие.
Эти ,в данном контексте, - ковариантные, эти - контравариантные.

Нет. Среди приведённых Вами ковариантных -- нет. Кроме того, переменные сами по себе в принципе не могут быть ко- или контравариантными.

Андрей АK в сообщении #339520 писал(а):

Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.
Т.е. $f = g_1(f,x,y) , x= g_2(f,x,y) , y= g_3(f,x,y) $ (или по переменным $x,y,t$)

И понятно почему.

Конечно, понятно. Потому что написанное Вами -- никакой заменой не является. Естественно, что никому и не приходило.

[мат-ламер]

Цитата:

Итак чем отличаются ковариантные вектора от контравариантных?

Первые лежат в основном пространстве, а вторые в сопряжённом. Например, градиент - это линейный функционал, и следовательно, это контрвариантный вектор.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #339542 писал(а):

Первые лежат в основном пространстве, а вторые в сопряжённом. Например, градиент - это линейный функционал, и следовательно, это контрвариантный вектор.

совершенно верно, хотя и с точностью до наоборот

[мат-ламер]

Цитата:

совершенно верно, хотя и с точностью до наоборот

Извините, перепутал.

-- Пт июл 16, 2010 20:13:04 --

Однако у этих терминов есть более удобочитаемые синонимы - векторы и ковекторы.

[ewert]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #339547 писал(а):

Извините, перепутал.

Да я и сам их вечно путаю; единственно что спасает -- это такое мнемоническое правило: "что такое контравариантный? -- а это обычный. -- а почему контра? -- а чтоб не забыть об абсурдности терминологии; контра -- она и есть контра".

Для просто векторов (не важно, в прямом или сопряжённом пространстве) -- всё это довольно бессодержательно. Полезность это приобретает только при обобщении на тензоры вообще.

[мат-ламер]

Цитата:

Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.

Где-то полтора месяца назад была задача на замену переменных в уравнении в частных производных второго порядка (так и не решённая). Там менялись зависимые и независимые переменные (циклически).