2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 15:07 


19/11/08
347
Хочу поднять один "детский" вопрос о корректности некоторых математических действий.

(Вообще-то это связано с мат. аппаратом СТО, но т.к. модераторы не спят, буду говорить только о математике).

Итак чем отличаются ковариантные вектора от контравариантных?

Рассмотрим две функции.

1) $f(x,y)$ и
2) $(x(t),y(t))$

Очевидно, в первом случае у нас одна переменная $f$ зависит от двух других переменных $x$ и $y$.
Во втором случае у нас две переменные $x$ и $y$ зависят от одной $t$.

Дифференциалы этих функций преобразуются соответственно.

$df(x,y) = f _x \dot$ dx + f _y \dot$ dy

$dx = x_t \dot$ dt , dy = y_t \dot$ dt

Каждые переменные ,при замене координат, ведут себя по разному.

Какие из переменных ковариантные, а какие контравариантные - зависит от того, что мы считаем основными переменными, а что производными.

Ведь можно и так посмотреть, что $f$ - это и есть основная координата (или у нас система функций $f_i$), а вот $x$ и $y$ - это функции от от этих неизвестных, и тогда матрица замены координат применяется не к тем, а к другим переменным.

Но что здесь характерно?
Здесь, четко различаются - вот входящие переменные (аргументы функции), вот исходящие.
Эти ,в данном контексте, - ковариантные, эти - контравариантные.

Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.
Т.е. $f = g_1(f,x,y) , x= g_2(f,x,y) , y= g_3(f,x,y) $ (или по переменным $x,y,t$)

И понятно почему.
Во первых существует такое замечательное свойство как: "полный дифференциал функции ,при замене координат, сохраняется".
Думаю оно (это свойство) оно не спроста ... ну это не какая-то бесполезная безделушка, которую всегда можно выкинуть за ненадобностью.

А ведь если мы делаем преобразования координат сразу по всем существующим переменным (т.е. по значению функции и по её аргументам) , не делая между ними никаких различий, то мы все полные производные превращаем в частные (а это далеко не безобидная потеря в строгости).

Я конечно понимаю, что в математике нет ограничений.

Если когда-то считалось некорректным извлечение квадратного корня из минус единицы, то теперь все обосновали, объяснили и пользуются ...

Это все хорошо... но есть ли обоснование корректности применения смешанных (ковариантно-контравариантных) преобразований?

Что происходит с полным дифференциалом?

Какие есть исследования на эту тему (я вот ищу и не могу найти).

Как я понимаю, истоки обоснования корректности подобных действий надо искать ... в теории множеств.

Как там определяется функция?

Имеется ДВА множества (которые правда могут совпадать по набору членов ... но формально это все-же два разных множества) и связь между этими двумя множествами ,в виде упорядоченных пар - есть функция.

Замена координат с точки зрения множеств - это простая перестановка элементов ... но внутри только одного множества - либо переставляются элементы множества образов... либо элементы множества прообразов.
Но никак не "образы меняются с прообразами, либо с другими образами по какому-то закону".

Так что же тогда ,с точки зрения теории множеств, ковариантно-контравариантная замена координат?

Это как раз, смешанная перестановка образов/прообразов друг с другом не взирая ... т.е. какой-то элемент может "перенестись" из образов в прообразы или остаться в образах - все зависит от формулы.

Так вот у меня вопрос: как такое можно назвать корректной математической операцией и где искать её обоснования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 15:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Андрей АK в сообщении #339520 писал(а):
Но что здесь характерно?
Здесь, четко различаются - вот входящие переменные (аргументы функции), вот исходящие.
Эти ,в данном контексте, - ковариантные, эти - контравариантные.

Нет. Среди приведённых Вами ковариантных -- нет. Кроме того, переменные сами по себе в принципе не могут быть ко- или контравариантными.

Андрей АK в сообщении #339520 писал(а):
Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.
Т.е. $f = g_1(f,x,y) , x= g_2(f,x,y) , y= g_3(f,x,y) $ (или по переменным $x,y,t$)

И понятно почему.

Конечно, понятно. Потому что написанное Вами -- никакой заменой не является. Естественно, что никому и не приходило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
Цитата:
Итак чем отличаются ковариантные вектора от контравариантных?
Первые лежат в основном пространстве, а вторые в сопряжённом. Например, градиент - это линейный функционал, и следовательно, это контрвариантный вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 18:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
мат-ламер в сообщении #339542 писал(а):
Первые лежат в основном пространстве, а вторые в сопряжённом. Например, градиент - это линейный функционал, и следовательно, это контрвариантный вектор.

совершенно верно, хотя и с точностью до наоборот

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
Цитата:
совершенно верно, хотя и с точностью до наоборот
Извините, перепутал.

-- Пт июл 16, 2010 20:13:04 --

Однако у этих терминов есть более удобочитаемые синонимы - векторы и ковекторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 19:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #339547 писал(а):
Извините, перепутал.

Да я и сам их вечно путаю; единственно что спасает -- это такое мнемоническое правило: "что такое контравариантный? -- а это обычный. -- а почему контра? -- а чтоб не забыть об абсурдности терминологии; контра -- она и есть контра".

Для просто векторов (не важно, в прямом или сопряжённом пространстве) -- всё это довольно бессодержательно. Полезность это приобретает только при обобщении на тензоры вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантность, теория множеств... что тут можно и что нелья
Сообщение16.07.2010, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
Цитата:
Почему-то никому не приходит в голову (раньше не приходило) что можно делать замену координат/поворот ... одновременно по всем существующим переменным.
Где-то полтора месяца назад была задача на замену переменных в уравнении в частных производных второго порядка (так и не решённая). Там менялись зависимые и независимые переменные (циклически).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group