Произведение первых n чисел, дающих по модулю p остаток q.

[Rubik]

Можно ли вывести общую формулу через факториал и элементарные функции? Например: для $q=0:\quad p\cdot2p\cdot3p\cdot...\cdot pn=p^nn!;\quad$для $p=2,q=1:\quad1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)=1\cdot\frac22\cdot3\cdot\frac44\cdot5\cdot\frac66\cdot...\cdot(2n-1)\cdot\frac{2n}{2n}=\frac{(2n)!}{2^nn!}$. А как это выразить для других $p$ и $q$? Спасибо.

[Shtirlic]

А можно конкретней, что такое $p$ и $q$. А то я как-то не уловлю. Скажем, напишите левую часть в общем виде!
Имеется ввиду, что общий член равен $pn-q$?

[Rubik]

Общий член $p(n-1)+q$ при $q\not=0$ и $pn$ при $q=0$. Т. е. можно ли выразить $\prod\limits_{k=1}^n(p(n-1)+q)$, где $q\not=0$ через факториал и элементарные функции?

[RIP]

Думаю, что при $p>2$ это невозможно (за исключением тривиальных случаев). Доказывать я это, конечно, не умею, но рассуждаю так. Возьмём $p=3$, $q=1$. Тогда

$$1\cdot4\cdot7\cdot\ldots\cdot(3n-2)=\frac{3^n\Gamma(n+1/3)}{\Gamma(1/3)}\sim\frac{\sqrt{2\pi}\,3^nn^{n-1/6}\mathrm e^{-n}}{\Gamma(1/3)}.$$

Такой асимптотики невозможно добиться, перемножая рациональные степени функций вида $a$, $a^n$ и $(an+b)!\sim\sqrt{2\pi}\,a^{an+b+1/2}n^{an+b+1/2}\mathrm e^{-an}$ для $a\in\mathbb A_{>0},b\in\mathbb Q$, поскольку числа $\pi$ и $\Gamma(1/3)$ алгебраически независимы.

[maxal]

Rubik в сообщении #337325 писал(а):

Т. е. можно ли выразить $\prod\limits_{k=1}^n(p(n-1)+q)$, где $q\not=0$ через факториал и элементарные функции?

Если заменить "факториал" на гамму-функцию, то можно (так же как это выше проделал RIP в частном случае):

$$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(pk+q) = \frac{p^n \Gamma\left(n+\frac{q}{p}\right)}{\Gamma\left(\frac{q}{p}\right)}.$$

Можно также это произведение расписать через числа Стирлинга 1-го рода (без знака):

$$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(pk+q) = \sum_{k=1}^n \left[ n\atop k\right] q^k p^{n-k}.$$