myhand, надо заметить, что на самом деле относительно свойств этого цилиндрического построения у нас с Вами разногласий-то и нет. Разница только лишь в том, что я утверждаю, что имеющиеся у нее дефекты несовместимы с гордым званием ИСО, а Вы — что совместимы. Т.е. спор почти чисто терминологический. Обращаться к Физической энциклопедии за определением ИСО бессмысленно, поскольку ничего подобного там не предусмотрено и она нас не рассудит. Остается только два пути: либо через бокс, либо через детализацию признаков. Предлагаю пока попробовать второй путь.
ИСО — это такая специальная СО.
СО — это такая система временной и пространственных координат
, что:
a) она как раз и реализует указанный в определении многообразия гомеоморфизм из
;
b)
задает пространственноподобную поверхность, все точки которой попарно причинно не связаны;
c)
задает времениподобную линию, все точки которой попарно причинно связаны по возрастанию
;
Разумеется, это не определение, а лишь перечисление важнейших свойств. Какие свойства важнейшие, а какие не очень — это предмет договоренности. Кому что больше нужно :) Полезный способ задания СО с помощью изотропных координат оставим за скобками.
С такой позиции ИСО (в
без разрезов и склеек) — это такой удачный вариант СО, что длина интервала между
и
вычисляется просто —
. Аналогично с временной координатой.
С этой же позиции обсуждаемая цилиндрическая конструкция в первую очередь не является СО и по этой причине не может называться ИСО, несмотря на то, что обладает некоторыми ее локальными свойствами.
Ну вот. А мне кажется что единственным признаком ИСО служит то, что там свободные частицы движутся по инерции (в чем думаю, согласится даже физическая энциклопедия). Таким образом, локально, т.е. пока не нужно учитывать границы карты - движение описывается линейной функцией координат. Все. Глобально также справедливы свойства b) и c), т.е. с учетом функций перехода на границах карты:
действительно отвечают времениподобным кривым (касательный вектор времениподобен), а
- пространственноподобным.
Т.е. важны достаточно локальные свойства системы координат. Как только измерения привилигированной в выбранной ИСО затрагивают большие расстояния/промежутки времени (
) - он обнаружит "чудные" с Вашей точки зрения свойства своей системы координат (если он не в выделенной ИСО). Например, даже если он покоится в своей ИСО - ему нужно будет переводить часы. Чтобы собственное время соответствовало координатному.
Причинные отношения проще всего рассмотреть (рекоммендую Вам) в привелигированной ИСО. Выбор другой ИСО ничего не меняет - эти отношения инвариантны.
Не инвариантны, а должны быть инвариантны. Но если эти отношения не могут быть однозначно выражены, то как проверить их инвариантность?
Если не могут быть выражены, то конечно - нельзя проверить. Только почему вдруг не могут? Вот у Вас есть расчет в превилигированной системе координат - сделали замену координат (преобразование Лоренца) - посчитали в произвольной ИСО.
Что Вам нужно для анализа причинности? Интеграл вдоль той или иной геодезической между разными точками - дак в чем проблема? Геометрия-то не меняется от замены координат. Ежели у Вас что-то поменялось, значит просто координаты ввели неправильно - например использовали неверно функцию перехода на границах карты.
С точки зрения причинности есть единственный любопытный момент - уже отмеченная ранее неединственность геодезических. Например, точки на сечении цилиндра могут быть соединены
двумя пространственноподобными геодезическими. Логично считать, что события в точках A и B могут быть причинно-связанными, если существует по крайней мере одна времени(свето)подобная геодезическая, их соединяющая.
Т.е. Вы накрываете цилиндр двумя (минимум) координатными патчами (скажем один узкая полоска, параллельная оси цилиндра и второй - все остальное) и описываете закон сшивки патчей в их области пересечения.
Вообще-то у нас это называется картами :) Самосклейка одной карты в таком случае принципиально не отличается от склейки двух, поскольку в одной из склеек мы можем задать преобразование координат тождественное. Но это так к слову пришлось.
Да, согласен, я употребил некорректный термин (англоязычный). Но! Самосклейка одной карты принципиально отличается - закон преобразования координат там разрывный будет.
PS: В общем, я не хочу Вас ни в чем переубеждать. Но если Вы видите проблемы с физической интерпретацией компактифицированных пространств - это материал для хорошей статьи. Поскольку до сих пор это не было никому очевидно, а тема достаточно неплохо изучена: в одном цитированном препринте несколько ссылок на хорошие журналы (PRL, PRA, etc).