Возведение в степень

[AD]

Ну это занудный формализм такой. Просто говорить, что "число $i$ - это такая штука, которой вообще-то не бывает, но вот мы сейчас его придумаем, и оно сразу будет, и будет нам счастье" - это по современным меркам "не дотягивает до математики" (с) Литлвуд.

Нужно конструкцию указать. В то же время определение $i$ "как корня многочлена $x^2+1$" действительно не лишено смысла, то есть это так и делается в теории алгебраических расширений - они там строят комплексные числа как факторкольцо $\mathbb{C}=\mathbb{R}[i]/(i^2+1)$.

[Leox]

Цитата:

На всякий случай поясню для всех желающих: "число, квадрат которого равен −1" - это тоже не определение. Пока мы не определили мнимую единицу как следует, на такое "определение" ответ "нет таких".

а если так "нечисло, квадрат которого равен −1"?

Цитата:

Как следует - это примерно так: берем линейное пространство $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$, вводим на нем умножение $(a,b)\times(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, примечаем вложение поля $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$, и говорим, что $i\stackrel{\text{def}}{=}(0,1)$. И тут же выясняется, что "определение по википедии" снова некорректно, потому что $-i$ ему тоже удовлетворяет.

Непонятно чему тоже удовлетворяет $-i$ и почему из етого следует некорректность? Вы указали изоморфную реализацию поля комплексных чисел из любого учебника алгебры, все там корректно.
Напомню еще другую реализацию, как фактор-алгебру $\mathbb{R}[x]/(x^2+1).$

[Shtirlic]

Leox
Я вначале привел определение:
Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1.
Ему удовлетворяют $i$ и $-i$. В этом и некорректность.
AD
Не совсем понял к чему это

Цитата:

Ну это занудный формализм такой. Просто говорить, что "число - это такая штука, которой вообще-то не бывает, но вот мы сейчас его придумаем, и оно сразу будет, и будет нам счастье" - это по современным меркам "не дотягивает до математики" (с) Литлвуд.

А это

Цитата:

Нужно конструкцию указать. В то же время определение $i$ "как корня многочлена $x^2+1$" действительно не лишено смысла, то есть это так и делается в теории алгебраических расширений - они там строят комплексные числа как факторкольцо $\mathbb{C}=\mathbb{R}[i]/(i^2+1)$.

К определению:
Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1?

И можно пояснить про факторкольцо, а то у меня очень туго с теорией множеств, вычетами и т.п.

-- Вс июл 04, 2010 03:58:32 --

Leox

Цитата:

а если так "нечисло, квадрат которого равен −1"?

А что тогда? Оператор, квадрат которого равен −1?

[AD]

Shtirlic в сообщении #337091 писал(а):

И можно пояснить про факторкольцо

Долго рассказывать. Винберг Э.Б., "Курс алгебры".

То есть давайте еще раз поясню мысль свою (которая совсем не моя).

Shtirlic в сообщении #337091 писал(а):

Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1

Это определение бессмысленно по определению слова "квадратый корень".

-- Сб июл 03, 2010 21:01:28 --

Leox в сообщении #337074 писал(а):

а если так "нечисло, квадрат которого равен −1"?

А что такое нечисло?

-- Сб июл 03, 2010 21:02:03 --

(Оффтоп)

Хех, захват темы осуществлён успешно, STilda отдыхает ^_^

[Shtirlic]

Цитата:

Это определение бессмысленно по определению слова "квадратый корень".

Что-то не пойму. Почему бессмысленно? Что неправильно с "квадратным корнем"?

[AD]

А то, что квадратный корень из отрицательного числа [еще] не определен. Порочный круг.

[Shtirlic]

AD
И еще разве под

Цитата:

В то же время определение $i$ "как корня многочлена $x^2+1$" действительно не лишено смысла

$-i$ не подходит? Это тоже корень многочлена $x^2+1$.

[AD]

После того, как мы сказали, что $\mathbb{C}=\mathbb{R}/(i^2+1)$, $i$ определяется как класс многочлена $i$, а $-i$ - как класс многочлена $-i$.

Когда я говорил "не лишено смысла", я имел в виду, что "на самом деле, конечно, тоже бред, но таким понятием хотя бы пользуются, определяя его как (см. далее)".

[Shtirlic]

AD в сообщении #337100 писал(а):

После того, как мы сказали, что $\mathbb{C}=\mathbb{R}/(i^2+1)$, $i$ определяется как класс многочлена $i$, а $-i$ - как класс многочлена $-i$.

Это мне мало понятно, все же вначале нужно про это почитать, может тогда что-то проясниться!=)

Хотелось бы все узнать

AD в сообщении #337096 писал(а):

А то, что квадратный корень из отрицательного числа [еще] не определен. Порочный круг.

А "Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1." нельзя также воспринимать как определение квадратного корня из отрицательного?

[AD]

Shtirlic в сообщении #337102 писал(а):

А "Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1." нельзя также воспринимать как определение квадратного корня из отрицательного?

Ну а так остается не понятно, что такое мнимая единица.

[Shtirlic]

Мда, чувствую мне прикладнику да еще и в экономике, тяжело понимать всю эту строгость математики!=) Мне "Мнимая единица — число, равное квадратному корню из −1." интуитивно хватает для понимания того, что такое и мнимая единица, и корень из отрицательного числа. Наверно мне этого достаточно, не думаю, что я в экономике сталкнусь с такой строгостью!=) Самый главный вопрос, который собственно и стоит на повестке дня: $i$ - это все же число же?

[AD]

Shtirlic в сообщении #337106 писал(а):

$i$ - это все же число же?

$i$ - это комплексное число, не являющееся действительным числом. В разных текстах слово "число" обычно означает "какой-нибудь элемент одной из этих числовых систем (какой именно из них - см. предисловие)". Скажем, когда речь идет о дифференциальных уравнениях, число - это обычно действительное число, а когда о спектральной теории [не обязательно самосопряженных] операторов - то это обычно комплексное число.

Ну ладно, чего-то я уже совсем неприлично себя веду. Надеюсь, STilda еще не забыл, на чем он остановился.

[Shtirlic]

AD
Ясно! Спасибо за разьяснения!=)
Значит STilda не прав используя $i$ как оператор.

[AD]

Shtirlic в сообщении #337112 писал(а):

Значит STilda не прав используя $i$ как оператор.

Я вроде такого не говорил Всякий элемент в алгебре естественным образом интерпретируется как оператор умножения на себя, то есть $i$ - это, помимо всего прочего, скажем, такой линейный оператор $i:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto iz$. Только это не определение, разумеется. Просто банальность Хотя, может быть, это и можно дотянуть до определения, но STilda этим пока не занимается.

[Xaositect]

AD в сообщении #337115 писал(а):

Shtirlic в сообщении #337112 писал(а):

Значит STilda не прав используя $i$ как оператор.

Я вроде такого не говорил Всякий элемент в алгебре естественным образом интерпретируется как оператор умножения на себя, то есть $i$ - это, помимо всего прочего, скажем, такой линейный оператор $i:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto iz$. Только это не определение, разумеется. Просто банальность Хотя, может быть, это и можно дотянуть до определения, но STilda этим пока не занимается.

Ну есть же матричное представление алгебры $\mathbb{C}$. Его тоже можно взять за определение.