Котангенс 0

[maikle]

Нашел в одном неплохом справочнике значение котангенса 0. Так вот там написано, что оно равно бесконечности. Но если рассмотреть ф-цию $y=1/x$ , при $x$ стремящемся к нулю, то она будет стремиться к бесконечности. А само выражение $1/0$ не определено.

Вопрос: правильно ли написано в справочнике? Я думаю, что лучше было бы написать "не определено".

[meduza]

maikle в сообщении #336983 писал(а):

что оно равно бесконечности.

Бесконечность -- не число. Когда говорят "равно $\infty$", подразумевается предел.

[мат-ламер]

Цитата:

Бесконечность -- не число.

А что же это? Например, в проективном пространстве есть бесконечно удалённая точка.

[meduza]

мат-ламер в сообщении #337003 писал(а):

Например, в проективном пространстве есть бесконечно удалённая точка.

Ну мало ли, что где есть. Автор спрашивает о смысле $\ctg 0=\infty$. Здесь $\infty$ просто символ. Нужен он лишь для сокращния более длинных записей. В данном случае то выражение заменяет фразу "$\ctg$ не ограничен в окрестности нуля". (Хотя писать так не очень хорошо хотя бы потому, что пределы с двух сторон разные по знаку.)

[мат-ламер]

Не знаю, какой справочник читал автор темы, но я в ряде книг встречался с тем, что с бесконечностью оперируют как с рядовым числом. Например в книгах по оптимизации (там функции действительные) оперируют с функциями, принимающими значение на расширенной числовой прямой, и добавляют к действительным числам две бесконечности (с разными знаками). В книгах по ТФКП компактифицируют комплексную плоскость бесконечно удалённой точкой. Так, можно считать, что котангенс задан на расширенной комплексной плоскости, и его значение в нуле как раз равняется той бесконечной удалённой точке (или, проще говоря, бесконечности). Причём, если для ТФКП понятно, какая структура соответствует расширенной комплексной плоскости (сфера Римана, либо $CP$), то в книгах по оптимизации такой мат. структуры нет. Просто договариваются, что операции с бесконечностями удовлетворяют некоторым очевидным правилам.

[maikle]

Цитата:

А что же это?

Если бы она была числом, то мы бы могли делать что-то в этом роде: "бесконечность минус бесконечность равна нулю" и т.д. - примерно так написано в книге.

[Lyosha]

meduza в сообщении #337016 писал(а):

В данном случае то выражение заменяет фразу "$\ctg$ не ограничен в окрестности нуля". (Хотя писать так не очень хорошо хотя бы потому, что пределы с двух сторон разные по знаку.)

Ну тогда котангенс не ограничен по модулю в окрестности нуля.

[мат-ламер]

maikle в сообщении #337036 писал(а):

Цитата:

А что же это?

Если бы она была числом, то мы бы могли делать что-то в этом роде: "бесконечность минус бесконечность равна нулю" и т.д. - примерно так написано в книге.

В какой это книге такое пишут? В книгах по оптимизации, про которые я говорил, как раз эта операция не определена (в отличии от некоторых остальных).

[maikle]

Имелось в виду, наверное, что с бесконечностью нельзя "оперировать", как с конкретным числом.

[meduza]

(Lyosha)

Lyosha в сообщении #337037 писал(а):

Ну тогда котангенс не ограничен по модулю в окрестности нуля.

А какая разница? Обычно в определениях ограниченности (не сверху/снизу, а просто) фигурирует только абс. величина функции.

мат-ламер в сообщении #337035 писал(а):

но я в ряде книг встречался с тем, что с бесконечностью оперируют как с рядовым числом.

Можно и так, но это тоже всего лишь формальность. Сокращение числа буковок, не более того.

[Lyosha]

(meduza)

А зачем же тогда Вы вот это

meduza в сообщении #337016 писал(а):

(Хотя писать так не очень хорошо хотя бы потому, что пределы с двух сторон разные по знаку.)

писали?

[meduza]

(Lyosha)

Я имел в виду, что нехорошо писать $\ctg 0=\infty$.

[ShMaxG]

А я думал (так, собственно, было на лекциях в 1ом семестре), что знак $\[\infty \]$ как раз обобщает $-\infty$ и $+\infty$.

Типа: предела $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {x}\] $ не существует ни в $\[\mathbb{R}\]$, ни в $\[\overline {\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\}\]$. Но существует в $\[\widehat{\mathbb{R}} = \overline {\mathbb{R}} \cup \left\{ \infty \right\}\] $ и $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1} {x} = \infty \] $.

Так что такая запись, я думаю, вполне приемлема без оговорок.

[maikle]

ShMaxG

опередили