Как построить гладкое многообразие?

[timon]

Хочу понять как построить гладкое многообразие и ввести риманову метрику на метрическом компакте?
Я полагаю ход действий таким:
1. Т.к. пространство метрическое, существует счетная база в виде шаров $B(x,\frac{1}{n})$.
2. Каждый окрытый шар гемеоморфен подпространству $R^n$.
3. По определению, имеем многообразие.
4. Для любого компактного многообразия сушествует Риманова метрика.
....
Спасибо

[Brukvalub]

timon писал(а):

...
2. Каждый окрытый шар гемеоморфен подпространству $R^n$....

Открытый шар в метрическом пространстве далеко не всегда гомеоморфен подпространству $R^n$ для какого-либо n, поэтому второй пункт Ваших построений вызывает у меня сильные сомнения.

[timon]

Спасибо Brukvalub. Да, лействительно, я понял вчера, что это не всегда верно. Например, $[0,1]$ не является гомеоморфным всему пространству в силу того, что первое является компактным, а второе нет. Однако, конечномерое компактное метрическое пространство гомеоморфно компактному подмнодеству $\mathbb R^N$ .
Может ли это обстоятельство говорить о сушествовании многообразия $\mathbb R^N$? Если да, то каким образом его построить и как ввести Риманову метрику имея расстояния на метрическом компакте?
Спасибо за любые замечания.

[Руст]

timon писал(а):

Однако, конечномерое компактное метрическое пространство гомеоморфно компактному подмнодеству $\mathbb R^N$ .
Может ли это обстоятельство говорить о сушествовании многообразия $\mathbb R^N$? Если да, то каким образом его построить и как ввести Риманову метрику имея расстояния на метрическом компакте?
Спасибо за любые замечания.

Гомеорфно, но не изометрично. Легко построить компактное метрическое пространство, которое изометрично не вкладывается в конечномерное пространство.

[timon]

Я понимаю, что тут и не пахнет изометричностью? Я хотел бы разобраться, можно ли построить компактное многообразие, гомеоморфное конечномерному компактному метрическому пространству, которое, может быть, содержит "дырки"(подмножества не содержащиеся в метрическом компакте)?
И если да, то как связана Риманова метрика с расстояниями?

[Руст]

Что вы понимаете под многообразием. Если рассматривать, только допускающие конечный атлас, то это неверно.

[timon]

Уважаемый Руст. Может я чего-то не понимаю. Можете ли вы объяснить, почему это не верно для конечного атласа?
Я использую стандартное определение: Множество $X$ с конечным (или счетным) покрытием $U_p$, в каждой из которых задан набор из $n$ кооординат. Переход между $U_p$ осуществляется с помошью матрицы Якоби дифференциальным образом.

[Руст]

Можно из квадрата выкинуть бесконечное множество маленьких квадратов, так чтобы осталось связное компактное множество, где уже нельзя ввести структуру многообразия с краем с конечным атласом.

[timon]

Тогда я не понимаю одного. Компактное метрическое = сепарабельное.
Для сепарабельного метрического пространства я могу определить
новую топологически эквивалентную метрику $\rho=\sum_{i}^{\infty}\frac{1}{2^i}|f_i(x)-f_i(y)|$, где $f_i$
функция Урысона для каждой пары из счетной базы (разбиение единицы). А раз так -
у меня всегда связное пространство, кроме того существует функция из класса
$C^\infty$, соединяюшая каждую точку.

[Brukvalub]

А откуда у Вас вообще появилась мысль, что всякий метрический компкакт можно превратить в многообразие? Я в этом очень сомневаюсь, и мои сомнения основаны на следкующих фактах:
1. Цитата из научной биографии известного тополога Ю.М.Смирнова:

Цитата:

Для каждого счетного трансфинита Ю.М.Смирнов построил метрический компакт данной размерности.

(полностью Вы можете прочесть его биографию здесь http://higeom.math.msu.su/people/smirnov/)
2. Гомеоморфизм открытого множества должен сохранять его размерность, поэтому гомеоморфизм бесконечномерного открытого шара в $\mathbb R^N$
вряд ли возможен.
Или Вы вели речь о конечномерных метрических компактах, упустив этот факт в открывшем тему посте?

[timon]

Во втором поем посте я поправился, уточнив что метрический компакт должен быть конечномерным.
Неужели нельзя построить многообразие может не напрямую, а используя, например, пространство функций Липшица. Меня интересует оба подхода, если это вохможно.

[lofar]

Теорема. Пусть $M$ --- топологическое многообразие (тут не требуется ни гладкости, ни конечности атласа). Если $M$ связно, то оно и линейно связно.

Гармошка $\sin(1/x)$ вместе с отрезком $[-1,1]$ (по оси $Oy$) является классическим примером компактного, связного, но не линейно связного топологического пространства. Согласно теореме, это топологическое пространство не является многообразием.

[timon]

Уважаемый lofar! Ну я уже извинился за ошибку в начале поста.

Цитата:

Однако, конечномерое компактное метрическое пространство гомеоморфно компактному подмнодеству $\mathbb R^N$ .

По определению многообразия, необходим локальный гомеоморфизм в $R^n$. Ну нет у меня его, есть только в $[0,1]^{\aleph_0}$, что не подходит. Поэтому рассматривать нужно только конечномерный метрический компакт. Кто знает, как сделать из последнего гладкое многообразие?

[Someone]

timon писал(а):

рассматривать нужно только конечномерный метрический компакт. Кто знает, как сделать из последнего гладкое многообразие?

lofar на примере Вам показывает, что никак.

[timon]

Спасибо. А что же нужно для локальной связности пространства?
На сколько я знаю, линейная связность для метрического компакта требует локальную связность (теорема Хана-Мазуркевича).