2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 10:37 
Заблокирован


07/02/10

215
Вопрос:
- кто-нибудь где-нибудь встречал сколько-нибудь математически корректное доказательства абсолютности понятия ускорения в СТО?
У меня есть сомнения на эту тему, хотелось бы их развеять, увидеть строгое математическое обоснование.
Мои сомнения основаны на следующем:
1. Как таковой формулы Лоренц-инвариантного преобразования ускорения не существует.
Но существуют формулы Лоренц-инвариантного преобразования координат, как расстояний, так и времени.
2. Поскольку в СТО общим является пространство событий, в котором динамика любого физического объекта отображается мировой линией, то это может являться основой для математического преобразования ускорения при переходе от неподвижной системы отсчета к движущейся.
3. Лучше всего учесть исходную совместимость релятивистской и классической модельных представлений для малых скоростей.
Тогда за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2
Остается лишь рассмотреть данное соотношение dl/dt в движущейся с некоторой скоростью системе отсчета.
Тождественной неизменности не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 11:05 
Заслуженный участник


13/12/05
3860
Вот, я тут считал по какой формуле преобразуется ускорение тела при переходе от одной системы отсчета к другой. Правда только в одномерном варианте. http://dxdy.ru/post299412.html#p299412

-- Сб июн 26, 2010 11:31:20 --

(Оффтоп)

Если движение происходит с постоянным ускорением (в сопутствующей системе отсчета), то скорость тела будет изменятся по закону $v(t)=c\sin\arctg \frac{at}{c}$. В Ландау, Лифшице такой же результат, только по-другому записанный.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 12:16 
Заслуженный участник


15/05/09
1563
При переходе рассмотрения движения в одной инерциальной системе отсчета к рассмотрению движения в другой, инерциальной системе отсчета, причем тело отсчета второй ИСО движется в первой с ненулевой скоростью (далее - коротко "при переходе из одной ИСО в другую ИСО"), скорость движения тела меняется по известным законам в соответствии с принятым описанием пространства-времени. В СТО такой переход соответствует повороту координатных осей (афинное преобразование).

Мировая линия движущегося с постоянной скоростью тела в первой ИСО представляет собой прямую. При переходе в другую ИСО прямая остается прямой, т.е. скорость тела и во второй ИСО останется постоянной. При этом можно найти такие ИСО, в которых мировая линия равномерно движущегося тела окажется параллельна пространственной оси в двумерном рассмотрнии пространства-времени (пространственные координаты тела будут постоянными во времени - в общем случае). Иными словами, в такой ИСО тело будет неподвижно, иметь нулевую скорость.

В силу принципа относительности в СТО (физические процессы описываются одинаково в любых ИСО) оказывается, что состояние движения/неподвижности тела является условным, зависящим от выбора системы отсчета.

Теперь рассмотрим тело, движущееся в некторой ИСО с ненулевым ускорением. Его мировая линия не представляется прямой. Поэтому переход к любой другой ИСО не превратит кривую линию в прямую (иначе обратный переход не будет соответствовать афинному преобразованию). Поэтому тело, ускоренно движущееся в одной ИСО, будет двигаться с ненулевым ускорением в любой другой ИСО. Это можно рассматривать как абсолютность ускорения в СТО.

Если же под абсолютностью понимать неизменность значения физической величины, то абсолютными могут быть лишь скалярные инварианты; очевидно, что ускорение к ним не относится. Однако не очевидно существование практического смысла рассмотрения такой аболютности.

P.S. В рассмотрении опущены общеизвестные положения, как то: свойства афинных преобразований, эквивалентность пребразований Лоренца поворотам в пространстве Минковского, вид мировых линий и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 16:16 
Заблокирован


07/02/10

215
спасибо Padawan за информацию, я посчитаю, проверю. У Вас немножко иной подход, я придал решающее значение преобразованию координат ускоряемого тела, поскольку преобразования Лоренца есть именно преобразование координат и ничего более.
Но в любом случае у Вас получается заведомо не тождественная и существенно не линейная зависимость между, скажем, показанием акселерометра и кривизной мировой линии ускоряемого тела.
Принимаем Ваш расчет.
От него можно перейти ко второму ответу:
PapaKarlo в сообщении #335330 писал(а):
Однако не очевидно существование практического смысла рассмотрения такой аболютности.
нет, это имеет существенно важное значение. Из расчетов Padawan непосредственно следует, что понятие релятивистски равноускоренного движения математически не корректно, а это понятие суют во все форумные дырки все, кому не лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 16:55 
Заслуженный участник


13/12/05
3860
Релятивистски равноускоренное движение, это такое движение, что $\frac{d^2 x^i}{ds^2}=\mathrm{const}$. Если это условие выполнено в какой-то системе отсчета, то и в любой другой также выполнено. Так что определение корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 17:13 
Заслуженный участник


15/05/09
1563
senior в сообщении #335369 писал(а):
нет, это имеет существенно важное значение.
Ну, если Вам для форумных дискуссий важно понятие аболютности в смысле неизменности значения физической величины при переходе из одной ИСО в другую, то по поводу ускорения можете рассмотреть переход из одной ИСО в другую, неподвижную относительно первой, но все пространственные оси координат второй направлены противоположно осям первой. Проекции любой векторной величины / компоненты тензора Любая векторная величина при таком переходе изменится что в галилеевой механике, что в СТО, что в ОТО. 8-)

senior в сообщении #335369 писал(а):
Из расчетов Padawan непосредственно следует, что понятие релятивистски равноускоренного движения математически не корректно
Честно говоря, не понял либо Ваш вывод о математической некорректности, либо что Вы имеете в виду под математической некорректностью.

На всякий случай: учтите, что в выводе Padawan$\frac{d\vec x}{dt}$ и $\vec v$ - это не одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 20:25 
Заблокирован


07/02/10

215
Padawan в сообщении #335381 писал(а):
Релятивистски равноускоренное движение, это такое движение, что $\frac{d^2 x^i}{ds^2}=\mathrm{const}$.

как бы так.
1. Обратимся к ЛЛ2 (88), стр 41:
Цитата:
Задача
Определить релятивистское равноускоренное движение, т. е. прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения до в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.

В собственной - означает, что показание акселерометра неизменно, не зависит от времени.
Тогда, согласно Вашим же расчетам во вполне устраивающем, все-таки мне лично больше импонирует - двумерном (время-расстояние) варианте, мировая линия должна быть линией переменной кривизны, коей окружность, пусть и псевдоевклидовая, никак не является.
Как бы вы это прокомментировали?
2. А как вы относитесь все-таки к моему предложению, что "преобразования Лоренца есть именно преобразование координат", из чего однозначно следует, что представление о преобразовании ускорения следует выводить исключительно и только из преобразования координат ускоряемого тела:
- за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2
(ускорение для простоты выбрал единичным)?
PapaKarlo в сообщении #335385 писал(а):
Ну, если Вам для форумных дискуссий важно понятие аболютности в смысле неизменности значения физической величины при переходе из одной ИСО в другу
В общем-то это не мне нужно. Я вообще считаю физикой только квантово-механические представления, а все остальное - детскими модельными играми ради игр. Но почему и не поиграться в конце концов. Крайне странно читать ходячую пургу, что ускорение (вторая производная от зависимой от скорости переменной по зависимому от скорости аргументу) в СТО абсолютно. Пока уважаемый Padawan не слишком меня убедил, что его формула преобразования единственно верная. Но и оно показывает, что с ускорением не все гладко.
PapaKarlo в сообщении #335385 писал(а):
что Вы имеете в виду под математической некорректностью
только то, что написал в п.1 - не видно пока однозначной тождественности между показанием акселерометра и кривизной мировой линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 20:48 
Заслуженный участник


13/12/05
3860
senior
А при чем тут окружность? Мировая линия частицы параметризуется натуральным параметром $s$, имеющем смысл собственного времени. Получаем $x^i=x^i(s)$, $i=0,1,2,3$. Вектора $\frac{dx^i}{ds}$ и $\frac{d^2 x^i}{ds^2}$ -- вполне определённые четырёхмерные вектора. В разных системах координат (ИСО), они имеют разные компоненты, которые преобразуются по обычному тензорному закону. Всё инвариантно.

Кривизна кривой -- это метрическое понятие, поэтому в псевдоевклидовой геометрии она не соответствует нашим обычным представлениям.
Пусть кривизна -- это \Large $|\frac{d^2 x^i}{ds^2}|=\sqrt{g_{ij}\frac{d^2 x^i}{ds^2}\frac{d^2 x^j}{ds^2}}=\sqrt{\frac{d^2 x^i}{ds^2}\frac{d^2 x_i}{ds^2}}$. Это число инварианто, т.е. одно и то же в разных ИСО. Я даже не знаю какой у него физический смысл. Надо посчитать и посмотреть.

Наверное, это показания акселерометра -- т.е. модуль ускорения в сопутствующей ИСО, в которой тело в данный момент покоится.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 20:54 
Заблокирован


07/02/10

215
Padawan в сообщении #335435 писал(а):
А при чем тут окружность?
при задаче - ЛЛ2 (88), стр 41.
В ответе гиперболическая классика - вращение вокруг события старта.
Сожалею, что вы не пожелали ответить на п.2.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 21:07 
Заслуженный участник


13/12/05
3860
Цитата:
2. А как вы относитесь все-таки к моему предложению, что "преобразования Лоренца есть именно преобразование координат", из чего однозначно следует, что представление о преобразовании ускорения следует выводить исключительно и только из преобразования координат ускоряемого тела

Да, в числе координат -- время. Нельзя время от координат отделять. Они совместно преобразуются.

Что конкретно с равноускоренным движением Вам не понятно? Его определение и обоснование релятивистской инвариантности этого определения? А также физическая интерпретация этого определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение26.06.2010, 22:17 
Заслуженный участник


04/03/09
861
senior в сообщении #335428 писал(а):
В собственной - означает, что показание акселерометра неизменно, не зависит от времени.
Тогда, согласно Вашим же расчетам во вполне устраивающем, все-таки мне лично больше импонирует - двумерном (время-расстояние) варианте, мировая линия должна быть линией переменной кривизны, коей окружность, пусть и псевдоевклидовая, никак не является.
Как бы вы это прокомментировали?

Окружность здесь ни при чем. В ответе к упоминаемой вами задачке значится \Large$x=\frac{c^2}{w}\left(\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}-1\right)$. И где тут окружность? Да и в обычном евклидовом пространстве закон движения \Large$x=\frac{wt^2}{2}$ окружностью не является.
senior в сообщении #335428 писал(а):
за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2

Так писать точно нельзя: слева у вас дифференциал, а справа квадрат дифференциала.
senior в сообщении #335428 писал(а):
Крайне странно читать ходячую пургу, что ускорение (вторая производная от зависимой от скорости переменной по зависимому от скорости аргументу) в СТО абсолютно

\Large$\frac{d^2x^i}{ds^2}\frac{d^2x_i}{ds^2}$ является инвариантом, то есть абсолютно. Движение, при котором эта величина остается постоянной вдоль мировой линии, называется релятивистски равноускоренным. Трехмерное ускорение \Large$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ инвариантом не является. Надеюсь, это поможет разрешить вам проблему.
Padawan в сообщении #335435 писал(а):
Наверное, это показания акселерометра -- т.е. модуль ускорения в сопутствующей ИСО, в которой тело в данный момент покоится.

Подкоренное выражение равно $-\frac{w^2}{c^4}$, где $w$ - ускорение в сопутствующей ИСО.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение27.06.2010, 00:38 
Заблокирован


07/02/10

215
Padawan в сообщении #335448 писал(а):
Что конкретно с равноускоренным движением Вам не понятно?
я лично вопросов не задаю. Более того, подозреваю, что в обсуждении как бы не понятно:
а) ускорение по определению есть вторая производная пути по времени и ничего более того;
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1% ... 0%B8%D0%B5
Цитата:
Ускоре́ние (обычно обозначается \vec a , в теоретической механике \vec w), производная скорости по времени — векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Из определения однозначно следует, что ускорение есть функция исключительно и только изменения положения (координат) исследуемого тела и потому должна однозначно выводиться исключительно и только из изменения наблюдаемого положения и ни из чего более. То есть, если мы хотим говорить об ускорении, то говорить следует об исходном, типа - вот в момент времени один имеем положение один при скорости один, а в момент времени два имеем положение два, из чего следует и скорость два, и ускорение на участке один-два. И по субъективному моему представлению весь сыр-бор обсуждения следовало бы идти в плане оценки влияния релятивистских представлений на изначально классические отношения обсуждаемых величин при обязательной их привязке к наблюдаемым величинам, тем самым координатам. А это пока весьма демонстративно игнорируется. Между тем математическая корректность любой модели и любых её параметров заключена только в соответствии параметрам оригинала, в данном случае - координатам, которые потенциально как бы объективно и независимо приборами регистрируются и измеряются. Всякая самостийная богоданность любых величин, в том числе ускорения, мне лично глубоко не интересна, я просто напросто отключусь. Хотим говорить об ускорениях, давайте говорить о координатах. И говорить о преобразовании ускорения можно и должно лишь через преобразование координат. Сверились, координаты соответствуют - значит модель корректна. Никакого другого критерия корректности нет, да и быть, по крайней мере в физике, не должно. Поэтому меня крайне огорчает весьма традиционное упование исключительно и только на математическое изящество модели без проверки физики.
б) мировая линия и есть, скажем так, непрерывная последовательность координат. И совершенно правильно Padawan отмечено - связная последовательность в плане преобразования. И нюанс здесь не только в том, что любую точку мировой можно избрать в качестве нулевой, но и в том, что все остальные точки мировой при этом автоматически уже не будут нулевыми. Следовательно, они все автоматически являются преобразованными. И отношения между ними автоматически являются преобразованными. Поэтому лично мне как-то странно читать не только про "элементарный перенос нуля", но что любая трансляция мировой линии ничего в ней не изменяет и крутить мировую можно как душа пожелает. Я настороженно отношусь к 4-операциям с мировыми линиями и соответствующим 4-представлениям, уж извините.
Мне не нужно определение релятивистски равноускоренного движения, не нужно обоснование его инвариантности и даже физическая интерпретация не нужна. Единственно, что необходимо - элементарная проверка на "вшивость", те самые координаты.
12d3 в сообщении #335469 писал(а):
И где тут окружность?
как иначе назвать геометрическое место точек, равноудаленных в псевдоевклидовом смысле от одной точки, называемой началом координат?
12d3 в сообщении #335469 писал(а):
Трехмерное ускорение \Large$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ инвариантом не является. Надеюсь, это поможет разрешить вам проблему.
Это вполне может помочь лишь начать разрешать проблему.
Далее следует ответить на вопрос, какое именно ускорение регистрирует акселерометр?
Опять же, ответ и на этот вопрос также не будет полным разрешением проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение27.06.2010, 02:06 
Заслуженный участник


04/03/09
861
senior в сообщении #335480 писал(а):
как иначе назвать геометрическое место точек, равноудаленных в псевдоевклидовом смысле от одной точки, называемой началом координат?

Пардон, и вправду "окружность", ибо приводится к такому виду: $c^2t^2-\left(x+\frac{c^2}{w}\right)^2=-\frac{c^4}{w^2}$. Только центр не в начале координат, а в точке $(0;-\frac{c^2}{w})$ Хм.. В том, что это окружность, есть физический смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение27.06.2010, 02:38 
Модератор


16/01/07
1566
Северодвинск
Гипербола. Иногда такое движение называют гиперболическим.

senior в сообщении #335480 писал(а):
Я настороженно отношусь к 4-операциям с мировыми линиями и соответствующим 4-представлениям, уж извините.

А какие тут предлагались "4-операции"? По-моему, речь шла, самое большее, о замене системы координат в пространстве-времени.

 !  Jnrty:
Троллинг? Заблокирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая корректность
Сообщение27.06.2010, 02:39 
Заслуженный участник


04/03/09
861
senior в сообщении #335480 писал(а):
Хотим говорить об ускорениях, давайте говорить о координатах.

Если вам так будет угодно.
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета материальная точка имеет координаты $(t,x)$, скорость $v=\frac{dx}{dt}$ и ускорение $w=\frac{dv}{dt}$.
Рассмотрим это в другой ИСО, которая движется относительно данной со скоростью $V$.
Преобразования Лоренца: $x'=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\,\,\,\,t'=\frac{t-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$
$w'=\frac{dv'}{dt'}=\frac{d}{dt'}\frac{dx'}{dt'}=\frac{d}{dt'}\left(\frac{dx-Vdt}{dt-\frac{Vdx}{c^2}}\right)=\frac{d}{dt'}\left(\frac{v-V}{1-\frac{Vv}{c^2}}\right)=$
$=\frac{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)dv-\left(v-V\right)\left(-\frac{Vdv}{c^2}\right)}{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)^2}:\frac{dt-\frac{Vdx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)\frac{dv}{dt}}{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)^2}\cdot \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{Vv}{c^2}}=$
$=\frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)^{\frac32}}{\left(1-\frac{vV}{c^2}\right)^3}\cdot w$
С результатом Padawanа сходится. Ну как, устраивает такой вариант? Или опять не то?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group