математическая корректность

[senior]

Вопрос:
- кто-нибудь где-нибудь встречал сколько-нибудь математически корректное доказательства абсолютности понятия ускорения в СТО?
У меня есть сомнения на эту тему, хотелось бы их развеять, увидеть строгое математическое обоснование.
Мои сомнения основаны на следующем:
1. Как таковой формулы Лоренц-инвариантного преобразования ускорения не существует.
Но существуют формулы Лоренц-инвариантного преобразования координат, как расстояний, так и времени.
2. Поскольку в СТО общим является пространство событий, в котором динамика любого физического объекта отображается мировой линией, то это может являться основой для математического преобразования ускорения при переходе от неподвижной системы отсчета к движущейся.
3. Лучше всего учесть исходную совместимость релятивистской и классической модельных представлений для малых скоростей.
Тогда за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2
Остается лишь рассмотреть данное соотношение dl/dt в движущейся с некоторой скоростью системе отсчета.
Тождественной неизменности не получается.

[Padawan]

Вот, я тут считал по какой формуле преобразуется ускорение тела при переходе от одной системы отсчета к другой. Правда только в одномерном варианте. http://dxdy.ru/post299412.html#p299412

-- Сб июн 26, 2010 11:31:20 --

(Оффтоп)

Если движение происходит с постоянным ускорением (в сопутствующей системе отсчета), то скорость тела будет изменятся по закону $v(t)=c\sin\arctg \frac{at}{c}$. В Ландау, Лифшице такой же результат, только по-другому записанный.

[PapaKarlo]

При переходе рассмотрения движения в одной инерциальной системе отсчета к рассмотрению движения в другой, инерциальной системе отсчета, причем тело отсчета второй ИСО движется в первой с ненулевой скоростью (далее - коротко "при переходе из одной ИСО в другую ИСО"), скорость движения тела меняется по известным законам в соответствии с принятым описанием пространства-времени. В СТО такой переход соответствует повороту координатных осей (афинное преобразование).

Мировая линия движущегося с постоянной скоростью тела в первой ИСО представляет собой прямую. При переходе в другую ИСО прямая остается прямой, т.е. скорость тела и во второй ИСО останется постоянной. При этом можно найти такие ИСО, в которых мировая линия равномерно движущегося тела окажется параллельна пространственной оси в двумерном рассмотрнии пространства-времени (пространственные координаты тела будут постоянными во времени - в общем случае). Иными словами, в такой ИСО тело будет неподвижно, иметь нулевую скорость.

В силу принципа относительности в СТО (физические процессы описываются одинаково в любых ИСО) оказывается, что состояние движения/неподвижности тела является условным, зависящим от выбора системы отсчета.

Теперь рассмотрим тело, движущееся в некторой ИСО с ненулевым ускорением. Его мировая линия не представляется прямой. Поэтому переход к любой другой ИСО не превратит кривую линию в прямую (иначе обратный переход не будет соответствовать афинному преобразованию). Поэтому тело, ускоренно движущееся в одной ИСО, будет двигаться с ненулевым ускорением в любой другой ИСО. Это можно рассматривать как абсолютность ускорения в СТО.

Если же под абсолютностью понимать неизменность значения физической величины, то абсолютными могут быть лишь скалярные инварианты; очевидно, что ускорение к ним не относится. Однако не очевидно существование практического смысла рассмотрения такой аболютности.

P.S. В рассмотрении опущены общеизвестные положения, как то: свойства афинных преобразований, эквивалентность пребразований Лоренца поворотам в пространстве Минковского, вид мировых линий и т.д.

[senior]

спасибо Padawan за информацию, я посчитаю, проверю. У Вас немножко иной подход, я придал решающее значение преобразованию координат ускоряемого тела, поскольку преобразования Лоренца есть именно преобразование координат и ничего более.
Но в любом случае у Вас получается заведомо не тождественная и существенно не линейная зависимость между, скажем, показанием акселерометра и кривизной мировой линии ускоряемого тела.
Принимаем Ваш расчет.
От него можно перейти ко второму ответу:

PapaKarlo в сообщении #335330 писал(а):

Однако не очевидно существование практического смысла рассмотрения такой аболютности.

нет, это имеет существенно важное значение. Из расчетов Padawan непосредственно следует, что понятие релятивистски равноускоренного движения математически не корректно, а это понятие суют во все форумные дырки все, кому не лень.

[Padawan]

Релятивистски равноускоренное движение, это такое движение, что $\frac{d^2 x^i}{ds^2}=\mathrm{const}$. Если это условие выполнено в какой-то системе отсчета, то и в любой другой также выполнено. Так что определение корректно.

[PapaKarlo]

senior в сообщении #335369 писал(а):

нет, это имеет существенно важное значение.

Ну, если Вам для форумных дискуссий важно понятие аболютности в смысле неизменности значения физической величины при переходе из одной ИСО в другую, то по поводу ускорения можете рассмотреть переход из одной ИСО в другую, неподвижную относительно первой, но все пространственные оси координат второй направлены противоположно осям первой. Проекции любой векторной величины / компоненты тензора Любая векторная величина при таком переходе изменится что в галилеевой механике, что в СТО, что в ОТО.

senior в сообщении #335369 писал(а):

Из расчетов Padawan непосредственно следует, что понятие релятивистски равноускоренного движения математически не корректно

Честно говоря, не понял либо Ваш вывод о математической некорректности, либо что Вы имеете в виду под математической некорректностью.

На всякий случай: учтите, что в выводе Padawan'а $\frac{d\vec x}{dt}$ и $\vec v$ - это не одно и то же.

[senior]

Padawan в сообщении #335381 писал(а):

Релятивистски равноускоренное движение, это такое движение, что $\frac{d^2 x^i}{ds^2}=\mathrm{const}$.

как бы так.
1. Обратимся к ЛЛ2 (88), стр 41:

Цитата:

Задача
Определить релятивистское равноускоренное движение, т. е. прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения до в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.

В собственной - означает, что показание акселерометра неизменно, не зависит от времени.
Тогда, согласно Вашим же расчетам во вполне устраивающем, все-таки мне лично больше импонирует - двумерном (время-расстояние) варианте, мировая линия должна быть линией переменной кривизны, коей окружность, пусть и псевдоевклидовая, никак не является.
Как бы вы это прокомментировали?
2. А как вы относитесь все-таки к моему предложению, что "преобразования Лоренца есть именно преобразование координат", из чего однозначно следует, что представление о преобразовании ускорения следует выводить исключительно и только из преобразования координат ускоряемого тела:
- за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2
(ускорение для простоты выбрал единичным)?

PapaKarlo в сообщении #335385 писал(а):

Ну, если Вам для форумных дискуссий важно понятие аболютности в смысле неизменности значения физической величины при переходе из одной ИСО в другу

В общем-то это не мне нужно. Я вообще считаю физикой только квантово-механические представления, а все остальное - детскими модельными играми ради игр. Но почему и не поиграться в конце концов. Крайне странно читать ходячую пургу, что ускорение (вторая производная от зависимой от скорости переменной по зависимому от скорости аргументу) в СТО абсолютно. Пока уважаемый Padawan не слишком меня убедил, что его формула преобразования единственно верная. Но и оно показывает, что с ускорением не все гладко.

PapaKarlo в сообщении #335385 писал(а):

что Вы имеете в виду под математической некорректностью

только то, что написал в п.1 - не видно пока однозначной тождественности между показанием акселерометра и кривизной мировой линии.

[Padawan]

senior
А при чем тут окружность? Мировая линия частицы параметризуется натуральным параметром $s$, имеющем смысл собственного времени. Получаем $x^i=x^i(s)$, $i=0,1,2,3$. Вектора $\frac{dx^i}{ds}$ и $\frac{d^2 x^i}{ds^2}$ -- вполне определённые четырёхмерные вектора. В разных системах координат (ИСО), они имеют разные компоненты, которые преобразуются по обычному тензорному закону. Всё инвариантно.

Кривизна кривой -- это метрическое понятие, поэтому в псевдоевклидовой геометрии она не соответствует нашим обычным представлениям.
Пусть кривизна -- это \Large $|\frac{d^2 x^i}{ds^2}|=\sqrt{g_{ij}\frac{d^2 x^i}{ds^2}\frac{d^2 x^j}{ds^2}}=\sqrt{\frac{d^2 x^i}{ds^2}\frac{d^2 x_i}{ds^2}}$. Это число инварианто, т.е. одно и то же в разных ИСО. Я даже не знаю какой у него физический смысл. Надо посчитать и посмотреть.

Наверное, это показания акселерометра -- т.е. модуль ускорения в сопутствующей ИСО, в которой тело в данный момент покоится.

[senior]

Padawan в сообщении #335435 писал(а):

А при чем тут окружность?

при задаче - ЛЛ2 (88), стр 41.
В ответе гиперболическая классика - вращение вокруг события старта.
Сожалею, что вы не пожелали ответить на п.2.

[Padawan]

Цитата:

2. А как вы относитесь все-таки к моему предложению, что "преобразования Лоренца есть именно преобразование координат", из чего однозначно следует, что представление о преобразовании ускорения следует выводить исключительно и только из преобразования координат ускоряемого тела

Да, в числе координат -- время. Нельзя время от координат отделять. Они совместно преобразуются.

Что конкретно с равноускоренным движением Вам не понятно? Его определение и обоснование релятивистской инвариантности этого определения? А также физическая интерпретация этого определения?

[12d3]

senior в сообщении #335428 писал(а):

В собственной - означает, что показание акселерометра неизменно, не зависит от времени.
Тогда, согласно Вашим же расчетам во вполне устраивающем, все-таки мне лично больше импонирует - двумерном (время-расстояние) варианте, мировая линия должна быть линией переменной кривизны, коей окружность, пусть и псевдоевклидовая, никак не является.
Как бы вы это прокомментировали?

Окружность здесь ни при чем. В ответе к упоминаемой вами задачке значится \Large$x=\frac{c^2}{w}\left(\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}-1\right)$. И где тут окружность? Да и в обычном евклидовом пространстве закон движения \Large$x=\frac{wt^2}{2}$ окружностью не является.

senior в сообщении #335428 писал(а):

за элементарное приращение промежутка времени dt ускоряемый объект пройдет элементарное расстояние dl=0,5dt^2

Так писать точно нельзя: слева у вас дифференциал, а справа квадрат дифференциала.

senior в сообщении #335428 писал(а):

Крайне странно читать ходячую пургу, что ускорение (вторая производная от зависимой от скорости переменной по зависимому от скорости аргументу) в СТО абсолютно

\Large$\frac{d^2x^i}{ds^2}\frac{d^2x_i}{ds^2}$ является инвариантом, то есть абсолютно. Движение, при котором эта величина остается постоянной вдоль мировой линии, называется релятивистски равноускоренным. Трехмерное ускорение \Large$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ инвариантом не является. Надеюсь, это поможет разрешить вам проблему.

Padawan в сообщении #335435 писал(а):

Наверное, это показания акселерометра -- т.е. модуль ускорения в сопутствующей ИСО, в которой тело в данный момент покоится.

Подкоренное выражение равно $-\frac{w^2}{c^4}$, где $w$ - ускорение в сопутствующей ИСО.

[senior]

Padawan в сообщении #335448 писал(а):

Что конкретно с равноускоренным движением Вам не понятно?

я лично вопросов не задаю. Более того, подозреваю, что в обсуждении как бы не понятно:
а) ускорение по определению есть вторая производная пути по времени и ничего более того;
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1% ... 0%B8%D0%B5

Цитата:

Ускоре́ние (обычно обозначается \vec a , в теоретической механике \vec w), производная скорости по времени — векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Из определения однозначно следует, что ускорение есть функция исключительно и только изменения положения (координат) исследуемого тела и потому должна однозначно выводиться исключительно и только из изменения наблюдаемого положения и ни из чего более. То есть, если мы хотим говорить об ускорении, то говорить следует об исходном, типа - вот в момент времени один имеем положение один при скорости один, а в момент времени два имеем положение два, из чего следует и скорость два, и ускорение на участке один-два. И по субъективному моему представлению весь сыр-бор обсуждения следовало бы идти в плане оценки влияния релятивистских представлений на изначально классические отношения обсуждаемых величин при обязательной их привязке к наблюдаемым величинам, тем самым координатам. А это пока весьма демонстративно игнорируется. Между тем математическая корректность любой модели и любых её параметров заключена только в соответствии параметрам оригинала, в данном случае - координатам, которые потенциально как бы объективно и независимо приборами регистрируются и измеряются. Всякая самостийная богоданность любых величин, в том числе ускорения, мне лично глубоко не интересна, я просто напросто отключусь. Хотим говорить об ускорениях, давайте говорить о координатах. И говорить о преобразовании ускорения можно и должно лишь через преобразование координат. Сверились, координаты соответствуют - значит модель корректна. Никакого другого критерия корректности нет, да и быть, по крайней мере в физике, не должно. Поэтому меня крайне огорчает весьма традиционное упование исключительно и только на математическое изящество модели без проверки физики.
б) мировая линия и есть, скажем так, непрерывная последовательность координат. И совершенно правильно Padawan отмечено - связная последовательность в плане преобразования. И нюанс здесь не только в том, что любую точку мировой можно избрать в качестве нулевой, но и в том, что все остальные точки мировой при этом автоматически уже не будут нулевыми. Следовательно, они все автоматически являются преобразованными. И отношения между ними автоматически являются преобразованными. Поэтому лично мне как-то странно читать не только про "элементарный перенос нуля", но что любая трансляция мировой линии ничего в ней не изменяет и крутить мировую можно как душа пожелает. Я настороженно отношусь к 4-операциям с мировыми линиями и соответствующим 4-представлениям, уж извините.
Мне не нужно определение релятивистски равноускоренного движения, не нужно обоснование его инвариантности и даже физическая интерпретация не нужна. Единственно, что необходимо - элементарная проверка на "вшивость", те самые координаты.

12d3 в сообщении #335469 писал(а):

И где тут окружность?

как иначе назвать геометрическое место точек, равноудаленных в псевдоевклидовом смысле от одной точки, называемой началом координат?

12d3 в сообщении #335469 писал(а):

Трехмерное ускорение \Large$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ инвариантом не является. Надеюсь, это поможет разрешить вам проблему.

Это вполне может помочь лишь начать разрешать проблему.
Далее следует ответить на вопрос, какое именно ускорение регистрирует акселерометр?
Опять же, ответ и на этот вопрос также не будет полным разрешением проблемы.

[12d3]

senior в сообщении #335480 писал(а):

как иначе назвать геометрическое место точек, равноудаленных в псевдоевклидовом смысле от одной точки, называемой началом координат?

Пардон, и вправду "окружность", ибо приводится к такому виду: $c^2t^2-\left(x+\frac{c^2}{w}\right)^2=-\frac{c^4}{w^2}$. Только центр не в начале координат, а в точке $(0;-\frac{c^2}{w})$ Хм.. В том, что это окружность, есть физический смысл?

[Jnrty]

Гипербола. Иногда такое движение называют гиперболическим.

senior в сообщении #335480 писал(а):

Я настороженно отношусь к 4-операциям с мировыми линиями и соответствующим 4-представлениям, уж извините.

А какие тут предлагались "4-операции"? По-моему, речь шла, самое большее, о замене системы координат в пространстве-времени.

Jnrty:

Троллинг? Заблокирую.

[12d3]

senior в сообщении #335480 писал(а):

Хотим говорить об ускорениях, давайте говорить о координатах.

Если вам так будет угодно.
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета материальная точка имеет координаты $(t,x)$, скорость $v=\frac{dx}{dt}$ и ускорение $w=\frac{dv}{dt}$.
Рассмотрим это в другой ИСО, которая движется относительно данной со скоростью $V$.
Преобразования Лоренца: $x'=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\,\,\,\,t'=\frac{t-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$
$w'=\frac{dv'}{dt'}=\frac{d}{dt'}\frac{dx'}{dt'}=\frac{d}{dt'}\left(\frac{dx-Vdt}{dt-\frac{Vdx}{c^2}}\right)=\frac{d}{dt'}\left(\frac{v-V}{1-\frac{Vv}{c^2}}\right)=$
$=\frac{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)dv-\left(v-V\right)\left(-\frac{Vdv}{c^2}\right)}{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)^2}:\frac{dt-\frac{Vdx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)\frac{dv}{dt}}{\left(1-\frac{Vv}{c^2}\right)^2}\cdot \frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1-\frac{Vv}{c^2}}=$
$=\frac{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)^{\frac32}}{\left(1-\frac{vV}{c^2}\right)^3}\cdot w$
С результатом Padawanа сходится. Ну как, устраивает такой вариант? Или опять не то?