Задачка на симметрические функции

[RIP]

Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{Q}.$ Обозначим

$$\sigma_m=\sum_{1\le i_1<i_2<\ldots<i_m\le n}x_{i_1}\ldots x_{i_m}\,,m=1,\ldots,n;$$

$$S_m=x_1^m+x_2^m+\ldots+x_n^m\,,m\in\mathbb{N}.$$

Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1)

$$\sigma_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

2)

$$S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

Добавлено спустя 17 минут 28 секунд:

Далее, пусть теперь $x_j\in\mathbb{C}$.
Докажите эквивалентность следующих условий:
1) Все $\sigma_m\in\mathbb{Z};$
2) Все $S_m\in\mathbb{Z}\ ,m\in\mathbb{N};$
3) $S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }m\le n^2.$

P.S. Эти задачки я придумал сам и хотелось бы знать, не встречались ли вы с подобными вещами где-нибудь. Конкретно, интересует переход типа 2)--->1).
P.P.S. Условие 3 можно еще ослабить.

[Руст]

RIP писал(а):

Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1)

$$\sigma_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

2)

$$S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

Далее, пусть теперь $x_j\in\mathbb{C}$.
Докажите эквивалентность следующих условий:
1) Все $\sigma_m\in\mathbb{Z};$
2) Все $S_m\in\mathbb{Z}\ ,m\in\mathbb{N};$
3) $S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }m\le n^2.$

P.S. Эти задачки я придумал сам и хотелось бы знать, не встречались ли вы с подобными вещами где-нибудь. Конкретно, интересует переход типа 2)--->1).
P.P.S. Условие 3 можно еще ослабить.

Не понял, зачем вы повторили дважды. Дело в том, что условие рациональности самих х - ов не требуется. Из того, что все симметрические многочлены целые числа, следует, что все х -ы целые алгебраические числа, соответственно $S_m$ целые алгебраические числа, но они выражаются, как целые многочлены от симметрических многочленов, следовательно целые.
А обратное можно получить через формулы Жирара. Однако из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов из- за появления деления при выражении симметрических многочленов через них. Однако, если первые n^2 целы, то этого достаточно.

[RIP]

Руст писал(а):

из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов

Для рациональных x-ов следует.

Извините за необразованность, но как выглядят формулы Жирара?

[Руст]

RIP писал(а):

Руст писал(а):

из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов

Для рациональных x-ов следует.

Извините за необразованность, но как выглядят формулы Жирара?

Да верно, если х -ы рациональные то это верно (так, что я виноват).
На этом форуме пару раз они появлялись (ссылку дал maxal). Они выражают последовательно
$\sigma_n$ через $S_k,k\le n$.

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html