RIP писал(а):
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1)

2)

Далее, пусть теперь

.
Докажите эквивалентность следующих условий:
1) Все

2) Все

3)

P.S. Эти задачки я придумал сам и хотелось бы знать, не встречались ли вы с подобными вещами где-нибудь. Конкретно, интересует переход типа 2)--->1).
P.P.S. Условие 3 можно еще ослабить.
Не понял, зачем вы повторили дважды. Дело в том, что условие рациональности самих х - ов не требуется. Из того, что все симметрические многочлены целые числа, следует, что все х -ы целые алгебраические числа, соответственно

целые алгебраические числа, но они выражаются, как целые многочлены от симметрических многочленов, следовательно целые.
А обратное можно получить через формулы Жирара. Однако из целости, только первых n

не следует целость всех симметрических многочленов из- за появления деления при выражении симметрических многочленов через них. Однако, если первые n^2 целы, то этого достаточно.