2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка на симметрические функции
Сообщение23.09.2006, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{Q}.$ Обозначим
$$\sigma_m=\sum_{1\le i_1<i_2<\ldots<i_m\le n}x_{i_1}\ldots x_{i_m}\,,m=1,\ldots,n;$$
$$S_m=x_1^m+x_2^m+\ldots+x_n^m\,,m\in\mathbb{N}.$$
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) $$\sigma_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$
2) $$S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

Добавлено спустя 17 минут 28 секунд:

Далее, пусть теперь $x_j\in\mathbb{C}$.
Докажите эквивалентность следующих условий:
1) Все $\sigma_m\in\mathbb{Z};$
2) Все $S_m\in\mathbb{Z}\ ,m\in\mathbb{N};$
3) $S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }m\le n^2.$

P.S. Эти задачки я придумал сам и хотелось бы знать, не встречались ли вы с подобными вещами где-нибудь. Конкретно, интересует переход типа 2)--->1).
P.P.S. Условие 3 можно еще ослабить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на симметрические функции
Сообщение23.09.2006, 13:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
RIP писал(а):
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) $$\sigma_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$
2) $$S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }1\le m\le n;$$

Далее, пусть теперь $x_j\in\mathbb{C}$.
Докажите эквивалентность следующих условий:
1) Все $\sigma_m\in\mathbb{Z};$
2) Все $S_m\in\mathbb{Z}\ ,m\in\mathbb{N};$
3) $S_m\in\mathbb{Z}\text{ при }m\le n^2.$

P.S. Эти задачки я придумал сам и хотелось бы знать, не встречались ли вы с подобными вещами где-нибудь. Конкретно, интересует переход типа 2)--->1).
P.P.S. Условие 3 можно еще ослабить.

Не понял, зачем вы повторили дважды. Дело в том, что условие рациональности самих х - ов не требуется. Из того, что все симметрические многочлены целые числа, следует, что все х -ы целые алгебраические числа, соответственно $S_m$ целые алгебраические числа, но они выражаются, как целые многочлены от симметрических многочленов, следовательно целые.
А обратное можно получить через формулы Жирара. Однако из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов из- за появления деления при выражении симметрических многочленов через них. Однако, если первые n^2 целы, то этого достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на симметрические функции
Сообщение24.09.2006, 07:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Руст писал(а):
из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов

Для рациональных x-ов следует.

Извините за необразованность, но как выглядят формулы Жирара?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на симметрические функции
Сообщение24.09.2006, 08:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
RIP писал(а):
Руст писал(а):
из целости, только первых n $S_m$ не следует целость всех симметрических многочленов

Для рациональных x-ов следует.

Извините за необразованность, но как выглядят формулы Жирара?

Да верно, если х -ы рациональные то это верно (так, что я виноват).
На этом форуме пару раз они появлялись (ссылку дал maxal). Они выражают последовательно
$\sigma_n$ через $S_k,k\le n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 20:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group