2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 09:39 


20/04/09
1067
Пусть $(X,d)$ -- полное метрическое пространство.

Множество $D\subset X$ называется тощим множеством, если оно содержится в множестве первой категории т.е. в счетном объединении замкнутых множеств без внутренних точек. Множество называется котощим, если его дополнение тощее.

Пусть $X_0$ -- котощее множество в $X$; $X_1$ -- котощее множество в $X_0$. Верно ли, что $X_1$ я вляется котощим в $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 10:20 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
Верно.
Множество является котощим в $X$ тогда и только тогда, когда оно содержит пересечение счётного числа открытых всюду плотных в $X$ множеств. Заметим, что надмножество котощего множества и пересечение счётного числа котощих множеств -- котощее множество.
Имеем,
$X_0\supset\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n$, где $G_n$ -- открытые всюду плотные в $X$ множества, т.е. $\overline G_n=X$.
$X_1\supset\bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$, где $H_m$ -- открытые всюду плотные в $X_0$ множества, т.е. $H_m=X_0\cap O_m$, где $O_m$ -- открыты в $X$, и $\operatorname{Cl}_{X_0}H_m=X_0\cap\overline O_m=X_0$.
Из последнего равенства $\overline O_m\supset X_0$. По теореме Бэра $X_0$ всюду плотно в $X$, поэтому $\overline O_m\supset\overline X_0=X$. Таким образом, $\overline O_m=X$, и $O_m$ -- открытое всюду плотное в $X$ множество.
Тогда $H_m=X_0\cap O_m\supset\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n\cap O_m$ -- котощее множество в $X$. Тогда и $X_1\supset\bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$ -- котощее в $X$.
Котощее множество ещё называют остаточным.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 11:43 


20/04/09
1067
Спасибо.

Будем говорить, что свойство выполняется $B-$почти всюду, если оно выполнено всюду за исключением тощего множества.

Так вот. Рассмотрим пространство функций на $(X,d)$ непрерывных $B-$почти всюду. Выходит, что это пространство секвенциально полно относительно поточечной сходимости?

-- Fri Jun 25, 2010 12:52:36 --

Padawan в сообщении #334908 писал(а):
Котощее множество ещё называют остаточным.

гм по смыслу "остаточным" скорее является тощее множесвто. Впрочем, я русских терминов всеравно не знаю для многих понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 12:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
terminator-II в сообщении #334940 писал(а):
Так вот. Рассмотрим пространство функций на $(X,d)$ непрерывных $B-$почти всюду. Выходит, что это пространство секвенциально полно относительно поточечной сходимости?

Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 12:21 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #334945 писал(а):
Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

(Я рассуждал иначе: поточечный предел непрерывных функций есть $B-$почти всюду непрерывная функция.)

Но тогла получается еще интересней. Пусть ${\cal C} (X)$ -- пространство $B-$почти всюду непрерывных функций на $X$, снабженное топологией поточечной сходимости.
Это пространство полунормированно.

И в силу того, что прямое произведение компактов -- компакт, получаем:

Утв. Замкнутое ограниченное подмножество ${\cal C}(X)$ компактно.

Так получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 12:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
terminator-II в сообщении #334948 писал(а):
Padawan в сообщении #334945 писал(а):
Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

Я рассуждал проще: поточечный предел непрерывных функций есть непрерывная $B-$почти всюду функция.

Я так же рассуждаю. Только это справедливо для полных пространств (или для гомеоморфных полным), поэтому я и сделал замечание.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 12:26 


20/04/09
1067
ok а что насчет остального см. предыдущий пост

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 12:29 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
Поподробнее распишите, а то я не врубаюсь :-)

-- Пт июн 25, 2010 12:33:35 --

Секвенциально компактно может? Всё равно не понятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 13:27 


20/04/09
1067
Полунормы в ${\cal C}(X)$ вводятся так
$p_{x_1,\ldots x_n}(f)=\max_{k=1,\ldots  n}|f(x_k)|$; $x_1,\ldots x_n$ -- всевозможные конечные наборы элементов из $X$. Эти полунормы задают отделимую локально выпуклую топологию в ${\cal C}(X)$. Множество полунорм обозначим за $P$.

Компактность всетаки будем доказывать только для множеств $K\subset {\cal C}(X)$ вида:
$$K=\{f\in {\cal C}(X)\mid p_{x_1,\ldots x_n}(f)\le c(x_1,\ldots x_n)<\infty,\quad p_{x_1,\ldots x_n}\in P .\}$$

Это множество можно представить в виде $K=\prod_{x\in X}K(x)$, где
$K(x)=\{f(x)\in K\mid x\in X\}\subset\mathbb{R}$ . При этом тихоновская топология в
$\prod_{x\in X}K(x)$ совпадает с топологией $K$ индуцированной из ${\cal C}(X)$.



Если мы покажем, что множества $K(x)$ компактны, то по теореме Тихонова $K$ компактно.

Но это вроде очевидно. Множества $K(x)$ ограничены. Проверим замкнутость. Пусть $a\in\overline{K(x')}$. Тогда должна существовать последовательность $\{f_n\}\subset K$ такая, что $f_n\to f\in K$ и $f(x')=a$.


А вот такой вопрос: верно ли, что всякая сходящаяся направленность должна содержать сходящуюся тудаже последовательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 13:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
terminator-II в сообщении #334971 писал(а):
А вот такой вопрос: верно ли, что всякая сходящаяся направленность должна содержать сходящуюся тудаже последовательность?

В общем случае не верно. Мне этот вопрос позавчера id задавал. Вот контрпример http://dxdy.ru/post334124.html#p334124. Может и проще можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 13:47 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #334979 писал(а):
В общем случае не верно.

а если ограничиться линейными пространствами? посмотрите еще, что я про компактность написал, как-то сразу оно у меня в голове не укладывается, может есть ошибки

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 15:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
Я не понял, что такое множество $K$. Там в определении $n$ фиксировано?

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 19:35 


20/04/09
1067
нет $n$ -- любое число; и тоже касается полунорм и множества $P$

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 20:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4606
Спрошу так: от каких параметров (числа $n$, функций $c$ и т.д.) зависит множество $K$, т.е. $K=K(?,?,?)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: категории Бэра
Сообщение25.06.2010, 21:13 


20/04/09
1067
Давайте начнем не с $K$, а с $P$. Из чего состоит множество $P$ понятно?
Следующий этап: для каждой полунормы определена константа (в том смысле, что она не зависит от $f$) c тем же индексом, что и полунорма

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group