Это всё дело можно проще доказать. Достаточно проверить, что если

, и

-- тощее в

, то

тощее в

.
В стартовом сообщении

. Тогда

. По условию

-- тощее в

, и

-- тощее в

, а значит, и в

. Объединение двух тощих -- тощее, значит,

-- котощее в

.
Проверка исходного утверждения.

, где

-- замкнутые подмножества

без внутренних точек. Тогда

, где

-- замкнутые в

и

. Положим

. Тогда

-- замкнутые без внутренних точек в

, и

. Значит,

-- тощее в

.
По сути всё тоже самое, но нагляднее по-моему. Переход к дополнениям всегда запутывает. Привычнее про тощие множества и про множества меры нуль рассуждать.
Вообще, эти выкладки самые что ни на есть общетопологические. Только самые основные топологические понятия используются.