категории Бэра

[terminator-II]

Пусть $(X,d)$ -- полное метрическое пространство.

Множество $D\subset X$ называется тощим множеством, если оно содержится в множестве первой категории т.е. в счетном объединении замкнутых множеств без внутренних точек. Множество называется котощим, если его дополнение тощее.

Пусть $X_0$ -- котощее множество в $X$; $X_1$ -- котощее множество в $X_0$. Верно ли, что $X_1$ я вляется котощим в $X$?

[Padawan]

Верно.
Множество является котощим в $X$ тогда и только тогда, когда оно содержит пересечение счётного числа открытых всюду плотных в $X$ множеств. Заметим, что надмножество котощего множества и пересечение счётного числа котощих множеств -- котощее множество.
Имеем,
$X_0\supset\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n$, где $G_n$ -- открытые всюду плотные в $X$ множества, т.е. $\overline G_n=X$.
$X_1\supset\bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$, где $H_m$ -- открытые всюду плотные в $X_0$ множества, т.е. $H_m=X_0\cap O_m$, где $O_m$ -- открыты в $X$, и $\operatorname{Cl}_{X_0}H_m=X_0\cap\overline O_m=X_0$.
Из последнего равенства $\overline O_m\supset X_0$. По теореме Бэра $X_0$ всюду плотно в $X$, поэтому $\overline O_m\supset\overline X_0=X$. Таким образом, $\overline O_m=X$, и $O_m$ -- открытое всюду плотное в $X$ множество.
Тогда $H_m=X_0\cap O_m\supset\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n\cap O_m$ -- котощее множество в $X$. Тогда и $X_1\supset\bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$ -- котощее в $X$.
Котощее множество ещё называют остаточным.

[terminator-II]

Спасибо.

Будем говорить, что свойство выполняется $B-$почти всюду, если оно выполнено всюду за исключением тощего множества.

Так вот. Рассмотрим пространство функций на $(X,d)$ непрерывных $B-$почти всюду. Выходит, что это пространство секвенциально полно относительно поточечной сходимости?

-- Fri Jun 25, 2010 12:52:36 --

Padawan в сообщении #334908 писал(а):

Котощее множество ещё называют остаточным.

гм по смыслу "остаточным" скорее является тощее множесвто. Впрочем, я русских терминов всеравно не знаю для многих понятий.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #334940 писал(а):

Так вот. Рассмотрим пространство функций на $(X,d)$ непрерывных $B-$почти всюду. Выходит, что это пространство секвенциально полно относительно поточечной сходимости?

Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #334945 писал(а):

Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

(Я рассуждал иначе: поточечный предел непрерывных функций есть $B-$почти всюду непрерывная функция.)

Но тогла получается еще интересней. Пусть ${\cal C} (X)$ -- пространство $B-$почти всюду непрерывных функций на $X$, снабженное топологией поточечной сходимости.
Это пространство полунормированно.

И в силу того, что прямое произведение компактов -- компакт, получаем:

Утв. Замкнутое ограниченное подмножество ${\cal C}(X)$ компактно.

Так получается?

[Padawan]

terminator-II в сообщении #334948 писал(а):

Padawan в сообщении #334945 писал(а):

Выходит, что так. Есть такая теорема (в Топологии Куратовского названа теоремой Александрова), что $G_\delta$-подмножество полного метрического пространство гомеоморфно полному метрическому пространству. Так что применение теоремы Бэра о функциях первого класса законно.

Я рассуждал проще: поточечный предел непрерывных функций есть непрерывная $B-$почти всюду функция.

Я так же рассуждаю. Только это справедливо для полных пространств (или для гомеоморфных полным), поэтому я и сделал замечание.

[terminator-II]

ok а что насчет остального см. предыдущий пост

[Padawan]

Поподробнее распишите, а то я не врубаюсь

-- Пт июн 25, 2010 12:33:35 --

Секвенциально компактно может? Всё равно не понятно...

[terminator-II]

Полунормы в ${\cal C}(X)$ вводятся так
$p_{x_1,\ldots x_n}(f)=\max_{k=1,\ldots n}|f(x_k)|$; $x_1,\ldots x_n$ -- всевозможные конечные наборы элементов из $X$. Эти полунормы задают отделимую локально выпуклую топологию в ${\cal C}(X)$. Множество полунорм обозначим за $P$.

Компактность всетаки будем доказывать только для множеств $K\subset {\cal C}(X)$ вида:

$$K=\{f\in {\cal C}(X)\mid p_{x_1,\ldots x_n}(f)\le c(x_1,\ldots x_n)<\infty,\quad p_{x_1,\ldots x_n}\in P .\}$$

Это множество можно представить в виде $K=\prod_{x\in X}K(x)$, где
$K(x)=\{f(x)\in K\mid x\in X\}\subset\mathbb{R}$ . При этом тихоновская топология в
$\prod_{x\in X}K(x)$ совпадает с топологией $K$ индуцированной из ${\cal C}(X)$.



Если мы покажем, что множества $K(x)$ компактны, то по теореме Тихонова $K$ компактно.

Но это вроде очевидно. Множества $K(x)$ ограничены. Проверим замкнутость. Пусть $a\in\overline{K(x')}$. Тогда должна существовать последовательность $\{f_n\}\subset K$ такая, что $f_n\to f\in K$ и $f(x')=a$.


А вот такой вопрос: верно ли, что всякая сходящаяся направленность должна содержать сходящуюся тудаже последовательность?

[Padawan]

terminator-II в сообщении #334971 писал(а):

А вот такой вопрос: верно ли, что всякая сходящаяся направленность должна содержать сходящуюся тудаже последовательность?

В общем случае не верно. Мне этот вопрос позавчера id задавал. Вот контрпример http://dxdy.ru/post334124.html#p334124. Может и проще можно.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #334979 писал(а):

В общем случае не верно.

а если ограничиться линейными пространствами? посмотрите еще, что я про компактность написал, как-то сразу оно у меня в голове не укладывается, может есть ошибки

[Padawan]

Я не понял, что такое множество $K$. Там в определении $n$ фиксировано?

[terminator-II]

нет $n$ -- любое число; и тоже касается полунорм и множества $P$

[Padawan]

Спрошу так: от каких параметров (числа $n$, функций $c$ и т.д.) зависит множество $K$, т.е. $K=K(?,?,?)$.

[terminator-II]

Давайте начнем не с $K$, а с $P$. Из чего состоит множество $P$ понятно?
Следующий этап: для каждой полунормы определена константа (в том смысле, что она не зависит от $f$) c тем же индексом, что и полунорма