О-большие, о-малые

[koky]

$O(x)=x^2=o(x),x \to 0$-значит так, да? Т.е. $x^2$-бесконечно малая большего порядка чем x, и одновременно $x^2$-бесконечно малая того же порядка что и х?!

[meduza]

koky в сообщении #333900 писал(а):

одновременно $x^2$-бесконечно малая того же порядка что и х?!

С чего Вы взяли? Перечитайте второе сообщение в этой теме.

P. S. О'шки лучше всегда писать справа, т. к. "=" означает не "равно", а "есть".

[koky]

meduza в сообщении #333387 писал(а):

koky в сообщении #333368 писал(а):

3) $f(x)=O(x^m), (x\to0) \leftrightarrow f(x)$ - бесконечно малая порядка m

вернее сказать "б. м. порядка не ниже $m$ относительно $x$" (т. к. никто не мешает ограниченной функцей, "сидящей" в $O$, стремиться к нулю. Напр. $x^3=O(x^2)$ при $x\to 0$).

Так, ясно. Почитав Фихтенгольца, я понял, что выражение "одного порядка малости" нужно использовать только когда $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{g(x)} }=c\ne0$ , где с - число . Хотя там не используется обозначение О-большое, но я понял, что это используется в случае ограниченности отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ в окрестности 0 ( для данного случая). Но я не понял, почему Вы только из того что $(x)=O(x^m), (x\to0)$ (в вышеуказанном для O-большее смысле, Вы ведь так это понимаете?!), делайте вывод что:

meduza в сообщении #333387 писал(а):

вернее сказать "б. м. порядка не ниже $m$ относительно $x$" (т. к. никто не мешает ограниченной функцей, "сидящей" в $O$, стремиться к нулю. Напр. $x^3=O(x^2)$ при $x\to 0$).

Ведь кроме того, ничто не мешает этому пределу ( $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$) не существовать при любом m.

[ewert]

Ещё раз. Запись "О"-большое означает с формальной точки зрения лишь соответствующее неравенство, не более и не менее. Лирически же это обычно озвучивается как "имеет такой-то порядок". Но это -- не более чем лирика, и понимать её следует как "имеет не менее чем вот этот самый порядок".

[koky]

ewert в сообщении #334184 писал(а):

"....имеет не менее чем вот этот самый порядок".

Я понял Вашу точку зрения. Но, что если $(x)=O(x^m), (x\to0)$ в смысле:

ewert в сообщении #334184 писал(а):

...Запись "О"-большое означает с формальной точки зрения лишь соответствующее неравенство, не более и не менее....

однако ни при каком m:
$\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует. Откуда тогда такое толкование?:

ewert в сообщении #334184 писал(а):

... и понимать её следует как "имеет не менее чем вот этот самый порядок".

[ewert]

koky в сообщении #334203 писал(а):

Откуда тогда такое толкование?:

Оно -- сугубо лирическое. Обоснованное тем, что в типичных ситуациях за подобными оценками стоит и подобная же асимптотика (т.е. предельное поведение). Так вот, по аналогии и принято употреблять слово "порядка". Это -- просто традиция, и ничего более.

[koky]

Вы хотите сказать, что если $f(x)=O(x^m), (x\to0)$ и предел $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует ни при каком m, то всё равно говорят "имеет не менее чем вот этот самый порядок", потому что обычно , для сравниваемой функции f(x), $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ существует?!!

[ewert]

koky в сообщении #334229 писал(а):

Вы хотите сказать, что если $f(x)=O(x^m), (x\to0)$ и предел $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует ни при каком m, то всё равно говорят "имеет не менее чем вот этот самый порядок", потому что обычно , для сравниваемой функции f(x), $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ существует?!!

Да, ровно так. Ровно такая лирика. Понимаете, слова "имеет порядок" -- это не более чем лирика. Помогающая иногда понять суть дела, но не более того. В отличие от чётко очерченного значка "О", который имеет вполне точный смысл.

Ладно, вот Вам более конкретный пример. Для численного решения дифуров придумано много разных способов. И в каждом из них есть вполне достоверные оценки погрешности типа "$O(h^m)$". А вот что погрешность и впрямь приблизительно равна той степени шага при малых $h$ -- этим вопросом мало кто заморачивается. Ибо конструктивных оценок константы перед той степенью нет, да они и практически не нужны (всё равно -- даже если б они и существовали бы, то были бы практически не вычисляемы), в самом же факте асимптотического поведения погрешностей никто не сомневается. В конце концов, опыт это показывает, да и просто здравый смысл.