2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение22.06.2010, 18:52 


18/04/10
50
$O(x)=x^2=o(x),x \to 0$-значит так, да? Т.е. $x^2$-бесконечно малая большего порядка чем x, и одновременно $x^2$-бесконечно малая того же порядка что и х?!

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение22.06.2010, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
koky в сообщении #333900 писал(а):
одновременно $x^2$-бесконечно малая того же порядка что и х?!

С чего Вы взяли? Перечитайте второе сообщение в этой теме.

P. S. О'шки лучше всегда писать справа, т. к. "=" означает не "равно", а "есть".

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 15:53 


18/04/10
50
meduza в сообщении #333387 писал(а):
koky в сообщении #333368 писал(а):
3) $f(x)=O(x^m), (x\to0) \leftrightarrow f(x)$ - бесконечно малая порядка m

вернее сказать "б. м. порядка не ниже $m$ относительно $x$" (т. к. никто не мешает ограниченной функцей, "сидящей" в $O$, стремиться к нулю. Напр. $x^3=O(x^2)$ при $x\to 0$).

Так, ясно. Почитав Фихтенгольца, я понял, что выражение "одного порядка малости" нужно использовать только когда $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{g(x)} }=c\ne0$ , где с - число . Хотя там не используется обозначение О-большое, но я понял, что это используется в случае ограниченности отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ в окрестности 0 ( для данного случая). Но я не понял, почему Вы только из того что $(x)=O(x^m), (x\to0)$ (в вышеуказанном для O-большее смысле, Вы ведь так это понимаете?!), делайте вывод что:
meduza в сообщении #333387 писал(а):
вернее сказать "б. м. порядка не ниже $m$ относительно $x$" (т. к. никто не мешает ограниченной функцей, "сидящей" в $O$, стремиться к нулю. Напр. $x^3=O(x^2)$ при $x\to 0$).

Ведь кроме того, ничто не мешает этому пределу ( $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$) не существовать при любом m.

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 16:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ещё раз. Запись "О"-большое означает с формальной точки зрения лишь соответствующее неравенство, не более и не менее. Лирически же это обычно озвучивается как "имеет такой-то порядок". Но это -- не более чем лирика, и понимать её следует как "имеет не менее чем вот этот самый порядок".

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 16:47 


18/04/10
50
ewert в сообщении #334184 писал(а):
"....имеет не менее чем вот этот самый порядок".
Я понял Вашу точку зрения. Но, что если $(x)=O(x^m), (x\to0)$ в смысле:
ewert в сообщении #334184 писал(а):
...Запись "О"-большое означает с формальной точки зрения лишь соответствующее неравенство, не более и не менее....
однако ни при каком m:
$\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует. Откуда тогда такое толкование?:
ewert в сообщении #334184 писал(а):
... и понимать её следует как "имеет не менее чем вот этот самый порядок".

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 16:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
koky в сообщении #334203 писал(а):
Откуда тогда такое толкование?:

Оно -- сугубо лирическое. Обоснованное тем, что в типичных ситуациях за подобными оценками стоит и подобная же асимптотика (т.е. предельное поведение). Так вот, по аналогии и принято употреблять слово "порядка". Это -- просто традиция, и ничего более.

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 18:02 


18/04/10
50
Вы хотите сказать, что если $f(x)=O(x^m), (x\to0)$ и предел $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует ни при каком m, то всё равно говорят "имеет не менее чем вот этот самый порядок", потому что обычно , для сравниваемой функции f(x), $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ существует?!!

 Профиль  
                  
 
 Re: О-большие, о-малые
Сообщение23.06.2010, 18:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
koky в сообщении #334229 писал(а):
Вы хотите сказать, что если $f(x)=O(x^m), (x\to0)$ и предел $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ не существует ни при каком m, то всё равно говорят "имеет не менее чем вот этот самый порядок", потому что обычно , для сравниваемой функции f(x), $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{x^m} }$ существует?!!

Да, ровно так. Ровно такая лирика. Понимаете, слова "имеет порядок" -- это не более чем лирика. Помогающая иногда понять суть дела, но не более того. В отличие от чётко очерченного значка "О", который имеет вполне точный смысл.

Ладно, вот Вам более конкретный пример. Для численного решения дифуров придумано много разных способов. И в каждом из них есть вполне достоверные оценки погрешности типа "$O(h^m)$". А вот что погрешность и впрямь приблизительно равна той степени шага при малых $h$ -- этим вопросом мало кто заморачивается. Ибо конструктивных оценок константы перед той степенью нет, да они и практически не нужны (всё равно -- даже если б они и существовали бы, то были бы практически не вычисляемы), в самом же факте асимптотического поведения погрешностей никто не сомневается. В конце концов, опыт это показывает, да и просто здравый смысл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group