О-большие, о-малые

[koky]

Читаю лекции по
матанализу, там написано:
1) $f(x)=O(g(x))$ (по базе В)$\leftrightarrow h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$-финально ограничена (по базе В)
2) $h(x) $- бесконечно малая (по базе В) $\leftrightarrow f(x)=o(g(x))$ (по базе В)
3)$f(x)=O(x^m), (x\to0) \leftrightarrow f(x)$ - бесконечно малая порядка m
Читаю дальше:
$\Delta f - df = o(df)$ - таким образом эта разность является бесконечно малой более высокого порядка, чем df.

Хм?.. я знаю, так говорят, просто имея ввиду равенство разности $ o(df)$, если разность и о(df) - бесконечно малые. Но если попробовать использовать определение 3,
то тогда вместо х здесь $df=c \Delta x $, где с - производная. Разность тоже можно представить функцией, зависящей от $ c \Delta x $. Отношение финально ограничено, т.к. стремится к 0. Но тогда разность имеет бесконечно малый порядок 1, а здесь написано "более высокого порядка"?!...ну пусть будет первый вариант объяснения.
Читаю дальше:
Мы видим, что дифференциал df приближает приращение $$\Delta f$ с точностью до бесконечно малой порядка большего 1, это означает также что $\Delta f - df (x)= o(\Delta x)$

Хм.. здесь бы подошло второе обяснение первого случая, но тогда было бы "имеет бесконечно малый порядок 1", а не "большего 1". Можно конечно понять, с точностью до бесконечно малой порядка 1, то есть как раз 1))) Но всё равно, насколько мне известно так говорят, если предел отношения константа, не равная 0, а здесь как раз 0!?

[meduza]

Я всё сообщение не осилил, уж очень всё сумбурно написано. Но тут:

koky в сообщении #333368 писал(а):

3) $f(x)=O(x^m), (x\to0) \leftrightarrow f(x)$ - бесконечно малая порядка m

вернее сказать "б. м. порядка не ниже $m$ относительно $x$" (т. к. никто не мешает ограниченной функцей, "сидящей" в $O$, стремиться к нулю. Напр. $x^3=O(x^2)$ при $x\to 0$).

[koky]

ну да, но обычно есть ограничение , чтобы предел отношения был не 0.
А вообще, главное мне непонятно как понимать фразу "Мы видим, что дифференциал df приближает приращение $\Delta f $с точностью до бесконечно малой порядка большего 1, это означает также что $\Delta f - df (x)= o(\Delta x)$". Я бы написал до бесконечно малой большего порядка чем $\Delta x$, а причём тут 1? непонятно, может это опечатка?

[ИСН]

Дельта x - это как раз бесконечно малая порядка 1. Что не так?
Тьфу, герменевтика какая-то.

[meduza]

(Оффтоп)

koky в сообщении #333400 писал(а):

ну да, но обычно есть ограничение , чтобы предел отношения был не 0.

Обычно такого ограничения нет (всегда $o(f)=O(f)$). А если есть -- так и пишут "$f$ и $g$ одного порядка" (символически $f=O^*(g)$ или $f\asymp g$, кто как любит).

По теме я опять не очень понял. Кстати, советую по возможности уточнять выражения "...б. м. поряка $n$" фразой "относительно...", по умолчанию я понимаю "относительно $x$" и в этом случае мой ответ совпадает с ответом ИСН.

[koky]

ИСН в сообщении #333402 писал(а):

Дельта x - это как раз бесконечно малая порядка 1. Что не так?

Это понятно, точнее у нас тут $\Delta x$. Так же $\Delta f - df (x)= o(\Delta x)$, значит разность бесконечно малая порядка большего 1, относительно $\Delta x$, т.к. если она была бы бесконечно малой порядка 1, тогда бы $\lim_{\Dlta x \to 0}{\frac{\Delta f - df (x)}{\Delta x} }=c \ne0$. Так что ли?

[ИСН]

Выражение "такого-то порядка" имеет два смысла: "порядок такой же, как у вот этого ($\Delta x$, $\Delta x^2$...)" и "порядок номер такой-то (номер 1, 2...)". Если их путать, выйдет конфуз.

[koky]

ИСН в сообщении #333464 писал(а):

Выражение "такого-то порядка" имеет два смысла: "порядок такой же, как у вот этого ($\Delta x$, $\Delta x^2$...)" и "порядок номер такой-то (номер 1, 2...)". Если их путать, выйдет конфуз.

хм.. а что если $\lim_{x \to 0}{\frac{f (x)}{x^n} }=c \ne0$, это разве не значит, что f(x) бесконечно малая порядка n, и одновременно что у неё такой же порядок малости как и у $x^n$?? (ну конечно f(x) - бесконечно малая по этой же базе)

[meduza]

koky в сообщении #333469 писал(а):

это разве не значит, ч

Значит (если под $c$ не подразумевается символ $\infty$), но лучше всегда уточнять, относительно какой б. м. идёт сравнение, как уже было сказано 2 раза выше.

[ewert]

koky в сообщении #333368 писал(а):

-финально ограничена (по базе В)

Да бог с ней, с "базой" -- красиво жить не запретишь. Но: "финально" ограничена?... Это полный финиш. Сказали бы хоть "предельно" -- это можно было бы принять просто за безобидный терминологический заскок; а так -- фтопку.

[meduza]

(Оффтоп)

ewert
Это просто терминология из учебника Зорича. Некоторое свойство функции выполнено финально при данной базе, если найдётся элемент этой базы, на котором оно имеет место. Например, фраза "$f$ финально ограничена при базе $x\to 0$" значит, что найдётся окрестность нуля, где $f$ ограничена.
P. S. "База $x\to 0$" -- это просто множество всех проколотых окрестностей нуля.

[ewert]

(Оффтоп)

meduza в сообщении #333804 писал(а):

Это просто терминология из учебника Зорича

ну вот значит Зорича -- и фтопку. Нефиг пижонить.

[meduza]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #333822 писал(а):

ну вот значит Зорича -- и фтопку. Нефиг пижонить.

А по-моему, такая терминология зачастую весьма полезна. И в том же Зориче эта полезность видна.

[koky]

Да, последнее в оффтопе про базы совпадает с определением в книге. Ну так вот, повторюсь, что там также написано, что $f(x)=O(g(x))$ (по базе В)$\leftrightarrow h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$-финально ограничена (по базе В), где f(x) и g(x) - бесконечно малые функции по базе В.
И пусть база В это база $x \to 0$. После этого возможно 3 варианта:
1) $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{g(x)} }=0$;
2) $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{g(x)} }=c\ne0$, где с - число;
3) $\lim_{ x \to 0}{\frac{f(x)}{g(x)} }$-не существует;

В первом случае пишут $f(x)=o(g(x))$. Это определение из кнжки совпадает с общепринятым, и означает, что f(x) - бесконечно малая высшего порядка по отношению к g(x).
Второй случай в книге не отмечен, но я встречал, что этот случай обозначают так же f(x)=O(g(x)) и говорят что f(x) и g(x) одного порядка малости. Впрочем чаще тоже самое говорят, если $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ - ограничена, поэтому логично обозначение O(g(x)) будет применять именно в случае ограниченности, как в более общем случае. Но ведь это не исключает случая 1?! и тогда f(x) - бесконечно малая высшего порядка по отношению к g(x)?!!! хм.. как же это объяснить?

[ewert]

Блин, ну надоело всё это.

Всё гораздо тривиальнее.

Запись "О" большое означает попросту, что левая часть не превосходит стоящего в правых скобках, с точностью до умножения на некоторую константу.

Запись "о" маленькое -- что она много меньше тех скобок, в предположении, разумеется, имевшегося в виду предельного перехода.

Вот и всё. И ни к чему все эти мерихлюндии.