Прикладная теория механических колебаний

[Sintanial]

Всем привет. Помогите с теорией колебаний....сам не могу разобраться а лекции ужасные....
Мне нужно исследовать вот такое уравнение
$\ddot\varphi-2\omega\sin{\varphi}\cos{\varphi}+\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}=0$
1)Определить особые точки
2)Произвести классификацию на фазовой плоскости в зависимости от параметра
3)Вывести уравнения фазовой траектории
4)По критерию Льянара, Бедиксона, и теореме Ляпунова установить значение параметров при которых система имеет периодическое решение
(это только начало =))

Так ну начнем с первого
Как определить особые точки?...в википедии нашел статью Особые точки. Как я понял мне надо найти собственные значения( тогда выполню сразу первые и второй пункты). Без синусов и косинусов я бы нашел их легко как обычно, вторую произодную заменил бы на $\lambda^2$ и т.д. .... но что здесь делать. Разложив триг. функ. в ряд тейлора, тоже ничего хорошего не приносит вроде как....что делать ?

[мат-ламер]

Может попробовать проинтегрировать уравнение в явном виде?

[Sintanial]

Я не думаю что это к чему то хорошему приведет.
Во первых $\varphi=\varphi(t)$ как я понимаю... тогда интегрировать такое уравнение дело не из приятных =). При разделении переменных получаются дроби.....

[Alexey1]

Попробуйте понизить порядок уравнения заменой $x_1=\varphi, x_2=\dot\varphi$. Получите систему из двух уравнений, где найти особые точки будет проще.

[Sintanial]

А вот это дельная мысль, я как раз об этом недавно задумывался...спасибо большое... ща буду делать =)

[Sintanial]

Решил возобновить тему. Так как у меня 28 экзамен. И мне обязательно надо сдать это до 28 числа =)
Прошу всех кто знает теорию колебаний помочь мне в решении и проверки =). Понимаю что проверять столько писанины мало кому понравится, но решается оценка на экзамене =)

1)Определение особых точек
Делаем замену $ \left\{ \begin{array}{l} \dot \varphi=\psi= P(\varphi,\psi),\\ \dot \psi=2\omega^2\sin\varphi \cos\varphi -\dfrac{g}{l}\sin \varphi=Q(\varphi,\psi), \end{array} \right. $
$2\omega^2\sin\varphi \cos\varphi -\dfrac{g}{l}\sin \varphi=0$$=>$$\varphi_1=\pi k$ $\varphi_2=\arccos \dfrac {g}{2l\omega^2}+2\pi k$
Получается у нас бесконечное множество особых точек
a)$(\pi k,0)$ b)$(\arccos \dfrac {g}{2l\omega^2}+2\pi k,0)$
2)Классификация особых точек
a)
$\dfrac {\partial P}{\partial\varphi}(\pi k,0)=0;\dfrac {\partial P}{\partial\psi}(\pi k,0)=1$
$\dfrac {\partial Q}{\partial\varphi}(\pi k,0)=2\omega^2\cos 2\pi k -\dfrac{g}{l}\cos \pi k = 2\omega ^2 -\dfrac {g}{l}(-1)^k;\dfrac {\partial Q}{\partial\psi}(\pi k,0)=0$
$=>$ $ \left\{ \begin{array}{l} \dot \varphi=\psi,\\ \dot \psi=(2\omega^2 +\dfrac{g}{l}(-1)^{k+1})\varphi=Q(\varphi,\psi), \end{array} \right. $
Решая диффур $\ddot \varphi -(2\omega^2 +\dfrac{g}{l}(-1)^{k+1})\varphi=0)$ ,и выписывая корни характ. урав. получаем $\lambda_{1,2}=\pm \sqrt{2\omega^2 +\dfrac{g}{l}(-1)^{k+1}}$
Если $\lambda_1 \cdot \lambda_2<0$-седловая точка при четных $n=k+1$ а фазовая траектория гипербола
Если n нечетное то $\lambda_{1,2}=\pm \sqrt{2\omega^2 -\dfrac{g}{l}}$и при $\dfrac {g}{l}>2\omega^2$ получаем чисто мнимые корни -центр а фазовая траектория эллипс (или ч.с. окружность)
б) почти тоже самое только больше выкладки , писать не буду. Если первое правильно сделал ? то со второй думаю справлюсь
3)Вывести дифференциальное уравнение фазовой траектории
В лекциях не было, поэтому без понятия как это делать. Книги читал, но там даётся сразу уравнение как факт и всё . Помогите с этим пунктом
4)Установить по критерию Льенара, Бендиксона и Теоремы Ляпунова значение параметров при которых системы имеет периодические решения
a) Критерий Бендиксона
Т.к. $\dfrac {\partial P}{\partial\varphi}+\dfrac {\partial Q}{\partial\psi}=0$ то Применить Теорему Бендиксона как я понимаю нельзя
b)Теорема Ляпунова.
Прочитав эту теорему я её не понял как применить к системе. Как я понял, необходимо найти такую функцию V явно не зависящую от t что бы её производная по t отличалась знаком от V то невозмущенное уравнение(тревиальное решение $\varphi=0$) устойчиво. Если это та теорема то подскажите как мне найти такую функцию V
c)Критерий Льянараего я вообще не в книга не в интернете не смог найти =)

5) Построение скелетной кривой и периодических решений разными методами

Для начало разложим в ряд Тейлора наши функции и получаем уравнение $\ddot \varphi -\varphi^3(\dfrac{g}{6l}-\dfrac {8\omega^2}{3})+\varphi(\dfrac {g}{l}-2\omega^2)=0$
Ну что бы проще было переобозначим константы $(\dfrac{g}{6l}-\dfrac {8\omega^2}{3})=\alpha$;$(\dfrac {g}{l}-2\omega^2)=\beta$. Получаем относительно красивое уравнение =)
$\ddot \varphi +\beta\varphi-\alpha\varphi^3=0$

a)Простейший метод Для этого ищем решение в виде $\varphi=A\cos pt$
Получаем $-Ap^2\cos pt +A\beta\cos pt - \alpha A^3\cos^3 pt=0$$=>$при $\varphi=0 , t=\dfrac{\pi}{2p}$ и при $\varphi=A,t=\dfrac{2\pi}{p}$ $=>$ собирая слагаемые при $\cos pt$ получаем $-Ap^2+A\beta=0,p=\pm\sqrt{\beta};=>\varphi=\cos\sqrt{\beta}t$
Следующий методы я еще не сделал. По мере того как сделаю, буду выкладывать. Проверьте пожалуйста пока то что я сделал

[terminator-II]

Sintanial в сообщении #314956 писал(а):

$\ddot\varphi-2\omega\sin{\varphi}\cos{\varphi}+\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}=0$

Домножаем уравнение на $\dot\varphi$, интегрируем, получаем первый интеграл ( он же закон сохранения энергии), траектории системы в фазовом пространстве $(\varphi,\dot\varphi)$ это линии уровня первого интеграла. Если сообразите как выглядит потенциальная энергия, то нарисовать эти уровни легко.

[Sintanial]

Не понимаю как интегрировать такое уравнение ? =)

Сегодня кстати спросил у однокурсника, он мне сказал что надо разделить в системе(которая уже линеаризована) второе уравнение на первое и получится дифф урав. фазовой траектории.
Получилось вот так
$\dfrac {d\varphi}{d\psi}=(2\omega^2+(-1)^{k+1}\dfrac g l )\dfrac {\varphi}{\psi}$
Разделяя получаем
$\psi d\psi=(2\omega^2+(-1)^{k+1}\dfrac g l )\varphi d\varphi$

Но я как то сомневаюсь в правильности данного метода ?!

[ИСН]

Чёта я не въехал, а куда косинусы делись?

[Sintanial]

ну мне сказали что надо делить второе урав на первое во второй системе когда я подставлял точки особые =)

Я вообще большую часть не понимаю что я делаю. Единственный предмет в котором я вообще ни чего почти не понимаю

[Yu_K]

http://www.math.psu.edu/melvin/phase/newphase.html строить здесь удобно. Косинусы пропали, но зато квадрат частоты появился - это уже радует. И книжку Баутин-Леонтович "Методы и приемы качественного ислледования..." http://lib.mexmat.ru/books/5463 рекомендую.

[Sintanial]

а остальные вещи у меня правильные ?

[Sintanial]

Люди ответе пожалуйста. Можно ли мне использовать метод Ван Дер Поля. Если да то как ?
Как мне свести моё уравнение $\ddot \varphi +\beta^2\varphi-\alpha\varphi^3=0$ к виду $\ddot \varphi +\beta^2\varphi=\xi f(\varphi,\dot\varphi) $
как я понял правая часть это и есть $\xi f(\varphi,\dot\varphi)=\alpha\varphi^3$ но она не зависит от $\dot\varphi$. Есть ли в этом принципиальная разница ?

[Yu_K]

Sintanial в сообщении #314956 писал(а):

Всем привет. Помогите с теорией колебаний....сам не могу разобраться а лекции ужасные....
Мне нужно исследовать вот такое уравнение
$\ddot\varphi-2\omega^2\sin{\varphi}\cos{\varphi}+\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}=0$

$\ddot\varphi=2\omega^2\sin{\varphi}\cos{\varphi}-\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}$

$\dot \psi\dot\varphi=\dot \psi \psi=2\omega^2\sin{\varphi}\cos{\varphi}-\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}$

$\dot \psi =\dfrac{2\omega^2\sin{\varphi}\cos{\varphi}-\dfrac{g}{l}\sin{\varphi}}{\psi}$

и фазовый портрет соответственно при частоте равной 1 и отношении $g/l=1/2$ ниже - видно что особые точки - седла и центры.

[Sintanial]

Вау, круто . Спасибо огромнейшее =)