дифференциал и производная

[paha]

(Оффтоп)

Перепишу то, что выше написал, без слов "гладкое многообразие" и "расслоение".




Любой вектор $v\in\mathbb{R}^n$, приложенный к точке $A\in\mathbb{R}^n$, является вектором скорости $\gamma'(0)$ некоторой кривой $\gamma:(-1;1)\to\mathbb{R}^n$, для которой $\gamma(0)=A$.


Кривую можно "перенести" в $\mathbb{R}^m$ так: $f\circ\gamma:(-1;1)\to\mathbb{R}^m$
и вычислить $(f\circ\gamma)'(0)$ -- вектор, приложенный в точке $f(A)$

Таким образом мы построили отображение ${\rm d}f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m$ (первый множитель в прямом произведении -- множество точек, т.е. аффинное пространство, второй сомножитель - ассоциированное векторное)

$$ {\rm d }f(A,v)=\Bigl(f(A),(f\circ\gamma)'(0)\Bigr) $$

(нетрудно доказать, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора $\gamma$)
Часто пишут $(f\circ\gamma)'(0)=({\rm d}f)_Av$ и называют это "дифференциал отображения $f$ в точке $A$"

То, что дифференциалом называют отображение, а не его значение, диктуется принципиальным удобством, выражающемся, например, в цепном правиле:

$$ {\rm d}(f\circ g)=({\rm d }f)\circ({\rm d}g),\quad\mbox{или}\quad {\rm d}(f\circ g)_A=({\rm d }f)_{g(A)}\circ({\rm d}g)_A. $$

В конце концов $df$ -- это векторнозначная 1-форма, принимающая значения на векторных полях... она же производная по направлению, можно и точные 2-формы называть "производными в направлении бивекторов", но это извращение

Термин "производная" в многомерной ситуации встречается в виде "частной производной" и обобщающей ее "производной по направлению":

$$ \frac{\partial f}{\partial a}(A)=\frac{d}{dt}\Bigr|_{t=0}f(A+at). $$

Но ведь это не что иное, как значение $({\rm d}f)_A(a)$!

[ewert]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #333555 писал(а):

И да, я с радостью говорил бы "многочлен" в алгебре и "многочленная функция" в матанализе.

Ну раз уж дело дошло до лянгвизма. Тогда надо быть последовательным и говорить "синусоидальная функция", "косинусоидальная функция" и даже "тангенциальная функция"...

[Хорхе]

ewert в сообщении #333639 писал(а):

Ну раз уж дело дошло до лянгвизма. Тогда надо быть последовательным и говорить "синусоидальная функция", "косинусоидальная функция" и даже "тангенциальная функция"...

А какой смысл синуса и косинуса вне контекста функции?

Ладно многочлен. Но с производящей функцией совсем плохо. Вот тут, говорю студентам, это функция, а тут это же не функция.

[terminator-II]

наблюдение: наибольший флейм разгорается вокруг наименее значимых вопросов

[caxap]

paha
Спасибо. Понятней стало.

[zaven]

meduza в сообщении #332962 писал(а):

caxap в сообщении #332951 писал(а):

нет ли какого-нибудь легкого введения, чтобы можно было "въехать в тему"

Просто, когда видите $df(x)h$, подразумевайте под этим $df(x,h)$.

Зорич сначала использует обозначение df(x)(h) = f'(x)h (стр 166)

а потом переходит на обозначение: df(x)h = f'(x)h (со страницы 171)

Почему он так делает не говоря об изменении способа обозначений?

[Combat Zone]

Потому что дифференциал - линейный по $h$ оператор.
В курсе линейной алгебры (например) обычно рассказывают, что если оператор $A$ линеен, то обозначения $A(h)$ и $Ah$ эквивалентны, и чаще используется второе. Так что такая замена естественна.