Теорема.
Пусть

выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства

. Доказать, что

достигает минимума на

.
Док-во. Пусть

-- минимизирующая последовательность:

. Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность, обозначим ее так же:

слабо. Так как для выпуклых множеств замкнутость эквивалентна слабой замкнутости имеем

.
Предположим, что

иначе доказывать нечего.
Тогда наверно нужно взять некоторый линейный функционал (особенно хорошо - если он в точке

достигает своей нормы) и получить противоречие со слабой сходимостью.
В пространстве

введем линейный функционал

положив

Ясно, что

По теореме Хана-Банаха продолжим этот функционал без увеличения нормы на все

.
Имеем

где

. Откуда

или

Переходя к пределу получим

. ЧТД