выпуклое множество

[terminator-II]

Пусть $M$ выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства $(X,\|\cdot\|)$. Доказать, что $\|\cdot\|$ достигает минимума на $M$.

[id]

Пусть дана минимизирующая последовательность $\{x_n\}$, она ограничена. Она слабо ограничена.
Она содержится в некотором замкнутом шарике $K$, который компактен в слабой топологии в силу рефлексивности.

Из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Она слабо сходится к какой-то точке множества $K$.

Множество $M$ замкнуто ~ слабо замкнуто.

Хм?

[terminator-II]

все так, но самое интересное теперь ,как доказать, что этот слабый предел и есть минимум

[id]

Может провести через точку опорную гиперплоскость... сдается мне, что расстоянии до этой гиперплоскости будет достигаться в том самом слабом пределе.

-- Пн июн 21, 2010 00:37:17 --

Или иначе. Пусть $d = lim \| x_n \|; x_0$ - это слабый предел минимизирующей последовательности.
Тогда $\| x_0\| > d$. Т.е. все элементы последовательности $x_n$ с некоторого номера лежат в шарике радиуса $d$, а $x_0$ лежит вне его.

Тогда наверно нужно взять некоторый линейный функционал (особенно хорошо - если он в точке $x_0$ достигает своей нормы) и получить противоречие со слабой сходимостью.

[Хорхе]

Помнится такая теорема из Рокафеллера. Если память не изменяет, подойдет не только норма, а любая слабо полунепрерывная снизу функция. Как доказывается, не помню. Но буду вспоминать.

Собственно, а чего ж тут доказывать? Только что-то не могу понять, где же тут выпуклость используется.

[id]

Хорхе
В том, что выше написал я, выпуклость используется в том смысле, что для выпуклых множеств хаусдорфова ЛВП замыкание совпадает со слабым замыканием. А предел выходит именно слабый, и для его принадлежности к исходному множеству нужна его слабая (а не только нормовая) замкнутость.

[Хорхе]

Ага, точно. Именно так Рокафеллар (вроде бы) и писал. Только я не помню там условие рефлексивности. Хотя явно нужно. Надо бы поискать этот факт.

-- Пн июн 21, 2010 02:51:36 --

Точно было условие рефлексивности. И доказывалось как-то так же. Еще там, естественно, кроме слабой полунепрерывности снизу, нужна ограниченность снизу и условие в духе $f(x)\to \infty, \|x\|\to \infty$. Видимо, должно хватать обычной полунепрерывности снизу.

[id]

Тут в конце обсуждается контрпример, когда от условия рефлексивности пытаемся избавиться.

[terminator-II]

Теорема.

terminator-II в сообщении #333279 писал(а):

Пусть $M$ выпуклое замкнутое подмножество рефлексивного банахова пространства $(X,\|\cdot\|)$. Доказать, что $\|\cdot\|$ достигает минимума на $M$.

Док-во. Пусть $x_n$ -- минимизирующая последовательность: $\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\|x\|$. Она ограничена. В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность, обозначим ее так же: $x_n\to x_0$ слабо. Так как для выпуклых множеств замкнутость эквивалентна слабой замкнутости имеем $x_0\in M$.

Предположим, что $x_0\ne 0$ иначе доказывать нечего.

id в сообщении #333311 писал(а):

Тогда наверно нужно взять некоторый линейный функционал (особенно хорошо - если он в точке $x_0$ достигает своей нормы) и получить противоречие со слабой сходимостью.

В пространстве $\mathrm{span}\,\{x_0\}$ введем линейный функционал $f$ положив $f(x_0)=\|x_0\|^2.$ Ясно, что

$$\|f\|=f\Big(\frac{x_0}{\|x_0\|}\Big)=\|x_0\|.$$

По теореме Хана-Банаха продолжим этот функционал без увеличения нормы на все $X$.

Имеем $f(x_n)= f(x_0)(1+\varepsilon_n),$ где $\varepsilon_n\to 0$. Откуда $\|f\|\|x_n\|\ge|f(x_0)|(1+\varepsilon_n),$ или

$$\|x_0\|\|x_n\|\ge \|x_0\|^2(1+\varepsilon_n).$$

Переходя к пределу получим $d\ge \|x_0\|$. ЧТД

[VoloCh]

Да, красиво. А тему (inho) лучше было б назвать "норма на выпуклом множестве" или "минимум нормы на выпуклом множестве". А вот условие рефлексивности - существенно? То есть в $C[0,1]$ можно соорудить контрпримерное выпуклое множество?

[Хорхе]

Так уже дали ссылку.

[VoloCh]

Чёт я слепой, значит ((
Слова про ссылку есть, ссылки нет

terminator-II в сообщении #333358 писал(а):

В силу рефлексивности, эта последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность

Существенность рефлексивности мне тут понятна. Достаточно придумать один функционал. Но вот контрпример к исходной теореме... это выпуклое множество...

[Хорхе]

Если $C$ -- множество выпуклых функций т.ч. $f(0)=f(1)=0$, $\int_0^1 f(x) \, dx = -1$, подойдет?

[id]

Или topic34661-15.html , на что уже была ссылка выше.

Рефлексивность нужна для слабой компактности единичного шарика.

[VoloCh]

оч. похоже...