Численные методы

[GAA]

Думаю, если из физических соображений известно чему должен быть равен корень, то задача сильно упрощается. (По-другому, все будет просто, если стоить задача, проверить будут ли лежать корни в некоторой области.)

Если не все $u_i$ равны друг другу, то $x_2 \ne 0$ и, следуя Алексей К, систему можно переписать в виде $x_3 = v_i - x_4\sh((u_i-x_1)/x_2)$, $i=1..4$. Исключая из системы $x_3$, можно прийти к системе

$$ \frac {1}{x_4} = \frac{1}{{v_1- v_i}}\left[\sh \left( \frac{u_1- x_1} {x_2}\right) - \sh \left( \frac{u_i- x_1} {x_2}\right)\right], \quad i = 2..4.$$

Наконец, исключая $x_4$, получим систему двух уравнений

$$\Phi_1 \equiv \frac{1}{{v_1- v_2}} \left[ \sh \left(\frac{u_1- x_1} {x_2} \right) - \sh \left(\frac{u_2- x_1} {x_2}\right) \right] - \frac{1}{{v_1- v_3}} \left[ \sh \left(\frac{u_1- x_1} {x_2} \right) - \sh \left(\frac{u_3- x_1} {x_2}\right) \right] = 0,$$

$$\Phi_2 \equiv \frac{1}{{v_1- v_2}} \left[ \sh \left(\frac{u_1- x_1} {x_2} \right) - \sh \left(\frac{u_2- x_1} {x_2}\right) \right] - \frac{1}{{v_1- v_4}} \left[ \sh \left(\frac{u_1- x_1} {x_2} \right) - \sh \left(\frac{u_4 - x_1} {x_2}\right) \right] = 0.$$

Если на компьютере грубо построить рисунок, то кажется, что в начале координат выражение $\Phi_1^2(x_1, x_2) + \Phi_1^2(x_1, x_2)$ принимает минимум. Т.к. достаточно рассматривать только положительные $x_2$, то я построил линии уровня $\Phi_1(x_1, x_2)=0$ и $\Phi_2(x_1, x_2)=0$ в области $ 0.065 < x_2 < 6.5$, $-50 < x_1< 10$. Оказалось при заданных значениях параметров они не пересекаются, т.е. система не имеет решений в этой области.

Далее, по мере возрастания $x_2$ выражение $\Phi_1^2(x_1, x_2) + \Phi_1^2(x_1, x_2)$ быстро убывает, но не видно, чтобы оно равнялось нулю при конечном $x_2$.

Вывод: при беглом взгляде создается впечатление, что, при заданных значениях параметров, система не имеет решений.

Добавлено через два с половиной часа

Однако, достаточно слегка изменить значения параметров и линии уровня начнут пересекаться. Например, если $v_4$ положить равным 20.8 (вместо 20), то $x_1 \approx -2.3$, $x_2 \approx 3.4$.

[Amenity]

GAA, спасибо большое за ответ!

Я тоже заметила, что систему из 4ех уравнений с 4 неизвестными легко привести к системе из двух уравнений с 2умя неизвестными. И из соответствующего рисунка находила начальное приближение для численного метода. =)

А систему решала методом градиентного спуска.