Численные методы

[Amenity]

Дана система из 4ёх уравнений такого вида:

u[i]=x[1]+x[2]*arcsh((v[i]-x[3])/x[4]); где u[i] и v[i] - даны, а x[i] - неизвестные, i=1,2,3,4.


Подскажите каким численным методом лучше решить такую систему и как найти начальное приближение. Второй вопрос особенно важен. ЗАранее благодарю.

Предупреждение за дублирование темы! Дубликат удалён.

[Circiter]

А всякие там град. спуски пробовали? Для случайной начальной точки, e.g., $(0,\ 0,\ 0,\ 0)$?

Позвольте хоть набрать условие правильно. Дана система

$$u_i=x_1+x_2\cdot\mathrm{arcsh}~\frac{v_i-x_3}{x_4},$$

где $u_i$, $v_i$ -- даны, а $x_i$ -- неизвестные, $1\leqslant i\leqslant 4$.

[Алексей К.]

Наверное, жить и работать с этим будет чуть полегче, если малость переименоваться:

$$u_i=x_1+x_2\cdot\mathrm{arcsh}~\frac{v_i-x_3}{x_4}=x_1+x_2\cdot\mathrm{arcsh}(X_3 +v_i X_4),\quad \text{где}\quad X_3=-\frac{x_3}{x_4},\quad X_4=\frac1{x_4}$$

-- 07 июн 2010, 14:57 --

Или ещё хуже:

$$\sh(X_1+u_iX_2)=X_3+v_i X_4,\quad \text{где} \quad X_1=-\frac{x_1}{x_2},\quad X_2=\frac{1}{x_2}.$$

[alekcey]

Если у Вас не комплексные переменные, то давайте конкретные данные, и попробуем…
Если комплексные, то разделите и давайте.

[Amenity]

Большое спасибо, что обратили внимание на мою тему!

Значения $u_i$:

$u_1 = -1.048,$
$u_2 = -0.277,$
$u_3 = 0.055,$
$u_4 = 0.648,$

Значения $x_i$ для исходной системы

$u_i = x_1+x_2*arcsh((v_i-x_3)/x_4)$ :

$x_1:=3,$
$x_2:=10.5,$
$x_3:=14,$
$x_4:=20.$


или значения $X_i$ для преобразованной системы:

$sh(X_1+u_i*X_2) = X_3+v_i*X_4$ :



$X_1:=-0.286,$
$X_2:=0.095,$
$X_3:=-0.7,$
$X_4:=0.05.$

[AKM]

Непонятно: Вы приводите неизвестные $x_i$ (или $X_i$, в интертрепации Алексея К.), но не приводите $v_i$, объявленные известными.

[Amenity]

Прошу прощения!!! Я просто по другому ввела обозначения, когда решала.

Вот исходные данные:

$u_i$:

$u_1 = -1.048,$
$u_2 = -0.277,$
$u_3 = 0.055,$
$u_4 = 0.648,$

$v_i$:

$v_1 = 3,$
$v_2 = 10.5,$
$v_3 = 14,$
$v_4 = 20.$

Нужно найти $x_i$ (или $X_i$ в новых обозначениях).

[alekcey]

Amenity в сообщении #328911 писал(а):

Прошу прощения!!! Я просто по другому ввела обозначения, когда решала.

Вот исходные данные:

$u_i$:

$u_1 = -1.048,$
$u_2 = -0.277,$
$u_3 = 0.055,$
$u_4 = 0.648,$

$v_i$:

$v_1 = 3,$
$v_2 = 10.5,$
$v_3 = 14,$
$v_4 = 20.$

Нужно найти $x_i$ (или $X_i$ в новых обозначениях).

x1=-62.0849340215802,x2=-22.3728302771541,x3=-211.514638828545,x4=-28.1507986613052

x1=-56.6044336286996,x2=-22.2688230742691,x3=-209.437198678125,x4=-35.2957062329085

x1=-79.5825890341842,x2=22.3516582597167,x3=-212.684493525515,x4=12.861155912864

x1=-42.1579904724852,x2=21.7400618937614,x3=-197.919124632628,x4=62.0569027254574

Посмотрите пока на этот набор из четырёх вариантов.
Решалось для такого вида уравнений: vi-x1-x2*arcsinh((ui-x3)/x4)=0 (для проверки)

[Amenity]

Спасибо за решение.

Дело в том, что такая система получилась в ходе решения физической задач. И такой ответ совсем не подходит по смыслу. =(

Но все равно спасибо. А каким способом вы решали систему?

[Алексей К.]

Amenity в сообщении #329220 писал(а):

И такой ответ совсем не подходит по смыслу. =(

Хочу заметить, что если $\{X_1,X_2,X_3,X_4\}$ --- решение уравнения

Алексей К. в сообщении #328648 писал(а):

$$\sh(X_1+u_iX_2)=X_3+v_i X_4,$$

то $\{-X_1,-X_2,-X_3,-X_4\}$ --- тоже решение. Легко получить соотв. соотношения для $\{x_i\}$.

-- 08 июн 2010, 23:50 --

Соотвественно, если $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$ --- решение исходного уравнения, то $\{x_1,-x_2,x_3,-x_4\}$ --- тоже решение.

Решаются такие штуки зачастую мат. пакетами --- Maple, MathCad, и др. По крайней мере, для "одноразовой" задачи. Про возможность (невозможность) других решений пока нчего не сообщалось.
Я не берусь квалифицированно исследовать вопрос; так, мелкие подсказки, видные и стороннему наблюдателю.

[Amenity]

А вы реализовывали какой-то метод сами? или пользовались встроенными?

[Алексей К.]

Нет, сам я ничего не решал (и конкретных решений Вам не приводил).

[Amenity]

alekcey в сообщении #329006 писал(а):

Amenity в сообщении #328911 писал(а):

Прошу прощения!!! Я просто по другому ввела обозначения, когда решала.

Вот исходные данные:

$u_i$:

$u_1 = -1.048,$
$u_2 = -0.277,$
$u_3 = 0.055,$
$u_4 = 0.648,$

$v_i$:

$v_1 = 3,$
$v_2 = 10.5,$
$v_3 = 14,$
$v_4 = 20.$

Нужно найти $x_i$ (или $X_i$ в новых обозначениях).

x1=-62.0849340215802,x2=-22.3728302771541,x3=-211.514638828545,x4=-28.1507986613052

x1=-56.6044336286996,x2=-22.2688230742691,x3=-209.437198678125,x4=-35.2957062329085

x1=-79.5825890341842,x2=22.3516582597167,x3=-212.684493525515,x4=12.861155912864

x1=-42.1579904724852,x2=21.7400618937614,x3=-197.919124632628,x4=62.0569027254574

Посмотрите пока на этот набор из четырёх вариантов.
Решалось для такого вида уравнений: vi-x1-x2*arcsinh((ui-x3)/x4)=0 (для проверки)

Спасибо, а как вы решали?

[alekcey]

Amenity в сообщении #329298 писал(а):

спасибо, а как вы решали?

Методов много, в конкретном случае использовался оптимизационный пакет Сергея Моисеева для Мэпл13. Понятно, это решения формальные, но тому, кто решает надо немного быть в курсе содержания. Я не в курсе.
Вообще, при численных подходах наиболее близок к “полному” решению систем метод Драгилева, например, для алгебраических систем кавычки не нужны. Но он требует частных производных и численного решения ОДУ… Если есть желание, всё можно освоить самостоятельно…

[alekcey]

Не знаю, правильными будут решения или нет, но есть ещё
x1 = -4.48747364949219, x2 = 9.66183984668761, x3 = -29.0421369080813, x4 = 88.0971428216249

x1 = -4.22298555399087, x2 = 9.39889829958335, x3 = -26.7050062820946, x4 = 86.244291126738

x1 = -4.01104057634845, x2 = 9.15965828532767, x3 = -24.8107200815079, x4 = 84.4459385653841

x1 = -3.96782493015777, x2 = -9.03950269254054, x3 = -24.3921883280065, x4 = -83.3073668532845

x1 = -3.95218936442888, x2 = 9.11059681150166, x3 = -24.2865968706837, x4 = 84.1245328583995

x1 = -4.45826891077873, x2 = 9.90066944936716, x3 = -28.9212611319822, x4 = 90.8100647405823