Думаю, если из физических соображений известно чему должен быть равен корень, то задача сильно упрощается. (По-другому, все будет просто, если стоить задача, проверить будут ли лежать корни в некоторой области.)
Если не все

равны друг другу, то

и, следуя
Алексей К, систему можно переписать в виде

,

. Исключая из системы

, можно прийти к системе
Наконец, исключая

, получим систему двух уравнений
Если на компьютере грубо построить рисунок, то кажется, что в начале координат выражение

принимает минимум. Т.к. достаточно рассматривать только положительные

, то я построил линии уровня

и

в области

. Оказалось при заданных значениях параметров они не пересекаются, т.е. система не имеет решений в этой области.
Далее, по мере возрастания

выражение

быстро убывает, но не видно, чтобы оно равнялось нулю при конечном

.
Вывод: при беглом взгляде создается впечатление, что, при заданных значениях параметров, система не имеет решений.
Добавлено через два с половиной часаОднако, достаточно слегка изменить значения параметров и линии уровня начнут пересекаться. Например, если

положить равным 20.8 (вместо 20), то

,

.