замкнутые неперерскающиеся множества на расстоянии 0

[ИСН]

Что не сходится? Я, кажется, уже спрашивал: что представляет из себя дополнение плоскости до той же плоскости? Открыто ли оно? И, если оно открыто, то значит, плоскость - что?

[caxap]

ИСН в сообщении #331475 писал(а):

Я, кажется, уже спрашивал: что представляет из себя дополнение плоскости до той же плоскости? Открыто ли оно? И, если оно открыто, то значит, плоскость - что?

$\varnothing$, оно открыто, значит плоскость замкнута.

[ИСН]

Бинго!

[caxap]

Но ведь плоскость открыта! Для любой точки $x\in \mathbb R^m$ найдётся окрестность, целиком лежащая в $\mathbb R^m$. (в том же Зориче написано "$\mathbb R^m$ -- открытое множество в $\mathbb R^m$").

-- Вт июн 15, 2010 13:01:55 --

Так... вы о $\mathbb R^2$ говорили как о плоскости?

[ИСН]

Да-да, плоскость, она же эр квадрат. Да, открыта тоже. В чём проблема?

[caxap]

caxap в сообщении #331476 писал(а):

значит плоскость замкнута.

ИСН в сообщении #331477 писал(а):

Бинго! (я воспринял, как "верно" // caxap)

ИСН в сообщении #331483 писал(а):

плоскость, она же эр квадрат. Да, открыта.

Замкнутость и открытость -- это же противоположные несовместимые понятия.

-- Вт июн 15, 2010 13:10:48 --

Скажите мне пожалуйста, в какую сторону ставить стрелку "следовательно" в
(открытость $F$) ? (замкнутость $C(F)$)

[ИСН]

(Всё правильно восприняли. Всё так и есть.)

caxap в сообщении #331484 писал(а):

Замкнутость и открытость -- это же противоположные несовместимые понятия.

Кто сказал? Опять папа римский?
А зелёность и длинность - тоже несовместимые? Крокодилов не существует?

[caxap]

Я думал это что-то типа антонимов. Т. е. плоскость -- замкнутая и открытая? пустое множество -- тоже? И

caxap в сообщении #331484 писал(а):

Скажите мне пожалуйста, в какую сторону ставить стрелку "следовательно" в
(открытость $F$) ? (замкнутость $C(F)$)

-- Вт июн 15, 2010 13:24:58 --

$\Rightarrow$?

[ИСН]

Да, плоскость сама в себе - замкнутая и открытая. И пустое множество тоже. Стрелку ставить в обе стороны, потому что это определение замкнутости. (Ну, почти оно.)
Замкнутость - не антоним открытости. Иначе бы она так и определялась. Или на худой конец это доказывалось бы потом, как свойство. Но это не так: вот же контрпример.

-- Вт, 2010-06-15, 14:31 --

На закуску можете подумать о множествах, которые не открыты и не замкнуты.

[caxap]

ИСН в сообщении #331499 писал(а):

Замкнутость - не антоним открытости.

Ага. Все проблемы (и 3 последние страницы) были вызваны непониманием этого факта.

Остался один вопрос: почему $\mathbb Q\cap [2,3]$ не замкнуто? Точнее что неправильно в моём решении сиходнйо задачи?

Ах, да. Ещё про предельные точки. Я видел два определения. В одном окрестность должна содержать бесконечное число точек, а другом -- хотя бы одну, кроме исследуемой. Тут совместить не получится.

[ИСН]

Не получится, да?
Возьмём окрестность. Она содержит хотя бы одну точку из этого самого множества. На каком-то расстоянии от нашей. Теперь возьмём другую окрестность, поменьше, чтобы та точка не вошла. Но и эта окрестность содерж...
...дальше ясно?

[caxap]

ИСН в сообщении #331507 писал(а):

...дальше ясно?

Ага. Понятно!

Про $Q=\mathbb Q\cap [3,4]$. Оно не открыто, т.к. не существует окрустности точки, содержащейся целиком в $Q$. $C(Q)=\mathbb I\cap (3,4)=I$ будет тоже не открыто. Если сделать отрицание "(открытость $F$) $\iff$ (замкнутость $C(F)$)", получим "(неоткрытость $F$) $\iff$ (незамкнутость $C(F)$)" (вот тут проблемы, $\overline{\iff}\equiv \iff$ ?). Т. е. получаем, что $Q,I$ не замкнуты и не открыты. Так?

[ИСН]

Как-то так, да.
Я говорил уже, кажется, что предпочитаю формулировку через границу. Что есть граница $\mathbb Q$?

[caxap]

ИСН в сообщении #331517 писал(а):

Что есть граница $\mathbb Q$?

"Первичным" понятием примем внутренняя точка -- это такая, которая входит в множество вместе с своей окрестностью. Внешняя -- это внутренняя по отношению к дополнению множетсва. Граничная -- это все остальные точки (не внутр, не внеш). Т. е. в окрестностях граничных точках есть как точки множетства, так и его дополнения.

Границей $\mathbb Q$ будет $\mathbb R$? Ведь в окрестности любой точки есть как $\mathbb Q$, так и $\mathbb I$ точки.

[ИСН]

Именно так. Тут уж сразу ясно: граница не входит ни во множество, ни в его дополнение.