С4 с прошедшего ЕГЭ

[Legioner93]

Задачу решил, но остались сомнения. Итак, "На концах направляющей длиной $2L$, по которой может скользить бусинка с зарядом $q>0$, находятся 2 заряда $Q>0$. Как изменится частота малых колебаний, если заряд $q$ увеличить в 2 раза?" (условие в вольной передаче). Моё решение. Направис ось $OX$ вправо, точка ноль в середине направляющей. По второму закону Ньютона $ma_{x}=\frac{kqQ}{(L+x)^2}-\frac{kqQ}{(L-x)^2}$. Известно, что для $\Delta t \to 0$ $f(t+\Delta t)=f^{'}(t) \Delta t +f(t)$. Используя это ($f(t)=t^{-2}$), получаем $\frac{ma_{x}}{kqQ}=-2L^{-3}x+L^{-2}-2L^{-3}x-L^{-2}$. Обозначим $p=\frac{mL^{3}}{4kqQ}$, $px^{''}=-x$.
$x=C_{1} \cdot \sin{(\frac{t}{\sqrt{p}}+C_{2})}$. $\nu=\frac{1}{2\pi \sqrt{p}}$. Ну и дальше просто. Правильно ли мое решение? Задач на период малых колебаний я решал от силы 5 штук, а это решение показалось мне слишком сложным для ЕГЭ, и в пробниках ничего подобного не видел, мы в школе такое и подавно не проходили . Может быть, ответ к задаче можно было найти друим путем? Остальные задачи на ЕГЭ были не чета этой (правда, C3 была некорректна поставлена, но это уже не в этой теме). Спасибо!

[AlexNew]

1) сила деиствующая на шарик
$F = \frac{q Q}{4 \pi \epsilon}(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(2L - x)^2}) = \frac{q Q}{4 \pi \epsilon}\frac{4L(L - x)}{x^2 (2L - x)^2}$
x - растояние от начала стержна до заряда q

2) малые колебания будут у точки равновесия x = L
$F = \frac{q Q}{4 \pi \epsilon}\frac{4L \Delta x}{L^2 L^2} = k \Delta x $ , где $k = \frac{q Q}{\pi \epsilon L^3}$

3) частота
$ \omega = \sqrt{k/m} \approx \sqrt{q} $

4) если q увеличить в 2 раза то частота выростет в $\sqrt{2}$ раза.
5) такой ответ можно дать сразу, зная чему пропорцианальна сила. (написал решение на всякий случай)

П.С.
сколько на ЕГЭ задачек, сколько время, какая сложность, это тест или решение нужно записывать ?

[Kitozavr]

А у меня было наоборот: как надо изменить заряд бусины, чтобы частота колебаний выросла в два раза.

AlexNew в сообщении #331313 писал(а):

сколько на ЕГЭ задачек, сколько время, какая сложность, это тест или решение нужно записывать ?

21 задание А, 5 В и 6С, 3,5 часа. На эту задачу нужен развёрнутый ответ.
P.S теперь я знаю что решил её правильно.

[мат-ламер]

А если вообще ничего не решать, а сослаться на аналогию с маятником (вспомнить как частота колебаний маятника зависит от ускорения силы тяжести)?

[Kitozavr]

мат-ламер
Здесь не математический, а пружинный маятник, поэтому частота колебаний будет зависеть от "жёсткости".