замкнутые неперерскающиеся множества на расстоянии 0

[caxap]

Расстоянием между множествами $E_1,E_2\subset \mathbb R^m$ назовём

$$d(E_1,E_2)=\inf_{x_1\in E_1,x_2\in E_2} d(x_1,x_2),$$

где $d(x_1,x_2)$ -- расстояние между точками $x_1,x_2$ ("обычное", т.е. $\sqrt{\sum_i (x_1^i - x_2^i)^2$}, $i$ -- индекс, а не степень).

Требуется привести пример замкнутых в $\mathbb R^m$ множеств $E_1,E_2$ без общих точек, чтобы $d(E_1,E_2)=0$. По-моему таких не бывает, но вопрос поставлен так, что как будто бывают...

-- Пн июн 14, 2010 20:27:32 --

Это задача из Зорича, 1 том, Гл. 7, $\S$1, п. 3.

[ИСН]

Видели ли Вы украинскую гиперболу с асимптотами? Нет, Вы не видели гиперболы с асимптотами!

[gris]

Это не интересно. Надо, чтобы множества было ограниченными.

[venco]

gris в сообщении #331239 писал(а):

Надо, чтобы множества было ограниченными.

Кому надо?

[gris]

Если я скажу "мне", то уже знаю, что услышу в ответ. Поэтому просто пожму плечами и заведу очи горе.

[venco]

gris в сообщении #331245 писал(а):

Если я скажу "мне", то уже знаю, что услышу в ответ.

Ясновидец.

Просто автору темы это было не нужно.
А в Вашем случае, я подозреваю, ответ противоположный.

[Cave]

Гипербола для $m = 1$ не годится. Тогда можно взять множество натуральных чисел и какое-нибудь множество чисел, близких к натуральным, и чем дальше от 0, тем ближе.

[Mathusic]

Кусок спирали, бегущий к точке.

[Mathusic]

А, требуется замкнутое мн-во. Тогда спираль не идёт.
А ограниченность, gris, не требуется. Тогда подходит гипербола, действительно.

[ewert]

gris в сообщении #331239 писал(а):

Надо, чтобы множества было ограниченными.

Расстояние от компакта до замкнутого множества в случае их непересечения всегда ненулевое

[venco]

Верно ли, что из бесконечной ограниченной последовательности $x_i \in \mathbb R^m$ всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность?
Мне кажется - верно, и тогда вариант gris-a не имеет решения.

[ewert]

venco в сообщении #331342 писал(а):

Мне кажется - верно, и тогда вариант gris-a не имеет решения.

Почему кажется?

[caxap]

ИСН в сообщении #331235 писал(а):

Видели ли Вы гиперболу с асимптотами? Нет, Вы не видели гиперболы с асимптотами!

Простите, а разве гипербола -- замкнутое множество? По-моему, любое множество, "простирающиеся" в беконечность является открытым. Чем гепербола и её асимптоты лучше $\mathbb R$, являющегося открытым?

А можно так (придумал, пока в маршрутке ехал): $E_1=\mathbb Q\cap [3,4]$, $E_2=\{\pi\}$. Вроде бы всем условиям удовлетворяет: оба замкнуты (я прав?), общих точек нет, расстояние между ними 0.

(Оффтоп)

Извините, я не буду создавать новую тему. Но вопрос такой. Читаю Зорича и есть 3 момента:
1) Определение. Множество $G\subset \mathbb R^m$ наз-ся открытым в $\mathbb R^m$, если для любой точки $x\in G$ найдётся шар $B(x,\delta)\subset G$.
Далее идет два примера: $\mathbb R^m$ -- открытое мн-во и $\varnothing$, поскольку не имеет точек вообще можно считать открытым.
Далее идет определени замкнутого мн-ва, как такого, дополнение которого $\mathbb R^m\setminus G$ является открытым.
Внимание вопрос: как могут быть $\mathbb R^m$ и $\varnothing$ быть одновременно открытыми, если они являются дополнениями друг друга?

2) Утверждение. (F замкнуто в $\mathbb R^m$) $\iff$ ($F=\overline F$ в $\mathbb R^m$).
upd. В кудрявцеве похажая теоремка, что замыкание является замкнутым множеством.
Тут $\overline F$ -- это замыкание мн-ва $F$, т.е. его объеденение со всеми его предельными точками.
Внимание вопрос: мн-во $\mathbb R^m$ удовлетворяет правой части, но не удовлетворяет левой. В чем дело?

upd.
3) В Зориче написано, что предельная точка мн-ва -- это такая, любая окрестность которой содержит бесконечное число точек мн-ва. А в Кудрявцеве -- почти то же, но достаточно хотя бы одну точку чтобы содержали эти окрустности (кроме самой точки, "предельность" который исследуется). Чему верить?

Кто хочет посмотреть в оригинале, это Зорич, 1 том, Гл. 7, $\S$1

[ИСН]

Переосмыслите определения открытости и замкнутости. По-моему, необходимость назрела.

[caxap]

ИСН в сообщении #331388 писал(а):

Переосмыслите определения открытости и замкнутости.

Я так и осмысливаю. Первичным является понятие "открытое мн-во", для любой точки которого существует окрестность целиком лежащая в этом множестве. Замкнутое определяется через дополнение, как я писал выше.