Золотое сечение

[Rubik]

По первым членам последовательности $I_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n$ заметил, что чем старше член, тем ближе он к целому числу, сделал предположение

$$\lim\limits_{k\to\infty}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^{2k}\right\}=1;\qquad \lim\limits_{k\to\infty}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^{2k+1}\right\}=0$$

Верно ли оно, и если да, то как его доказать?

Я поставил \qquad --- большой пробел (ещё есть не_очень_большой, \quad) между двумя частями Вашей формулы.
Полагаю, Вам и это знание пригодится.

[Mathusic]

Оба по нулю.

[Cave]

$\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n + \left(\frac{1-\sqrt{5}}2\right)^n$ - целое число.

[BapuK]

Rubik в сообщении #329219 писал(а):

По первым членам последовательности $I_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n$ заметил, что чем старше член, тем ближе он к целому числу, сделал предположение

$$\lim\limits_{k\to\infty}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^{2k}\right\}=1;\qquad \lim\limits_{k\to\infty}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^{2k+1}\right\}=0$$

Верно ли оно, и если да, то как его доказать?

$\sqrt{5} > 2 \Rightarrow \frac{1+ \sqrt{5}}{2}>1 \Rightarrow \lim\limits_{k\to\infty}\left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^{2k}=\lim\limits_{k\to\infty}C^{2k}$, где $C > 1$ следовательно предела нет

[AKM]

$\left\{\strut\text{дробная часть}\right\}$, очевидно, имеется в виду.

[Mathusic]

BapuK
Как сказал модератор, имеется в виду дробная часть поэтому ваши выводы неверны. Оба предела равны $0$, просто потому, что обе функции суть стационарные.
Полагаю, ТС сформулировал неправильно то, что сначала описал словесно.

[Cave]

Это почему? У автора верны оба утверждения.

[Rubik]

При чётных $n$ члены описаной мной последовательности всё ближе к целым числам, но при этом они меньше ближайшего целого. Приведу первые 10 членов последовательности и их дробные части:
$I_1=1,618033989;\qquad\{I_1\}=0,618033989$
$I_2=2,618033989;\qquad\{I_2\}=0,618033989$
$I_3=4,236067977;\qquad\{I_3\}=0,236067977$
$I_4=6,854101966;\qquad\{I_4\}=0,854101966$
$I_5=11,09016994;\qquad\{I_5\}=0,09016994$
$I_6=17,94427191;\qquad\{I_6\}=0,94427191$
$I_7=29,03444185;\qquad\{I_7\}=0,03444185$
$I_8=46,97871376;\qquad\{I_8\}=0,97871376$
$I_9=76,01315562;\qquad\{I_9\}=0,01315562$
$I_{10}=122,9918694;\qquad\{I_{10}\}=0,9918694$
Очевидно, что при чётных $n$ дробная часть стремится к единице.
Так как $\left(\frac{1+\sqrt{5}}2\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}2\right)^n$ - члены последовательности $x_1=1,x_2=3,x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$, то они целые, а так как второе слагаемое бесконечно малое и знакопеременное, то

$$\lim\limits_{n\to\infty}(I_n-x_n)=0;\qquad n=2k=>I_n>x_n;\qquad n=2k+1=>I_n<x_n$$

[AKM]

Хорошая, на мой взгляд, задачка получилась.

[Mathusic]

Cave в сообщении #329348 писал(а):

Это почему? У автора верны оба утверждения.

Точно, ошибся. С нотацией опять накосячил.