Сумма двух идеалов есть идеал

[Профессор Снэйп]

Жуть! Где это такому ужасу научают?

Если что, то Вы только одну аксиому идеала проверили: идеал должен выдерживать умножение на элементы кольца слева и справа. А как насчёт того, что идеал должен быть абелевой группой? Тоже проверять надо

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328487 писал(а):

Жуть! Где это такому ужасу научают?

А где вас путать людей научали?

Профессор Снэйп в сообщении #328487 писал(а):

А как насчёт того, что идеал должен быть абелевой группой?

Вы тут заикнулись об идеале. А это уже кольцо.

Профессор Снэйп в сообщении #328487 писал(а):

А как насчёт того, что идеал должен быть абелевой группой? Тоже проверять надо

Ещё надо доказать, что идеал является множеством :) И предъявить справку, что он не верблюд (!)

-- Пн июн 07, 2010 00:58:26 --

rusbot в сообщении #328399 писал(а):

Я доказал по определению, что сумма двух идеалов есть идеал. Верно доказательство?

Доказали. Но запись ваша действительно жутка.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #328517 писал(а):

Вы тут заикнулись об идеале. А это уже кольцо.

Э-э-э... Да Вы аксиомы идеала, по ходу, не знаете

[Mathusic]

Допустим. Просветите тогда, что такое идеал.

[Профессор Снэйп]

Идеалом кольца называется подмножество его носителя, являющееся абелевой группой (по сложению) и выдерживающее умножение на любой элемент кольца.

[Mathusic]

Теперь определение кольца, пожалуйста.

[Профессор Снэйп]

Кольцо --- система с двумя операциями $+$ и $\cdot$, являющаяся абелевой группой по сложению, полугруппой по умножению и удовлетворяющая свойству дистрибутивности.

Единица в кольце присутствовать не обязана

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328726 писал(а):

Кольцо --- система с двумя операциями $+$ и $\cdot$, являющаяся абелевой группой по сложению, полугруппой по умножению и удовлетворяющая свойству дистрибутивности.

Единица в кольце присутствовать не обязана

Я бы и ассоциативность умножения выкинул. Но суть не здесь.

А теперь если сравнить это с вашим определением идеала: аддитивная группа есть, дистрибутивность есть (ассоц-ть тоже, если кольцо ассоциативно), замкнутость относительно умножения имеется. Так будет ли идеал подкольцом кольца?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #328729 писал(а):

Так будет ли идеал подкольцом кольца?

Безусловно, будет. Ну и что из этого?

Mathusic в сообщении #328729 писал(а):

Я бы и ассоциативность умножения выкинул.

Да, с ассоциативностью я немного прогнал. Подошёл исправить, а тут уже ответ...

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328732 писал(а):

Mathusic в сообщении #328729 писал(а):

Так будет ли идеал подкольцом кольца?

Безусловно, будет. Ну и что из этого?

А то что вы безосновательно обвинили меня в незнании понятия "идеал".

Профессор Снэйп в сообщении #328555 писал(а):

Mathusic в сообщении #328517 писал(а):

Вы тут заикнулись об идеале. А это уже кольцо.

Э-э-э... Да Вы аксиомы идеала, по ходу, не знаете

Которое смотрится как минимум глупо, учитывая, что могут существовать эквивалентные определения.
Если не сказать больше, учитывая, что если в вашем определении изловчиться и заметить, что если множество замкнуто относительно умножения на ВСЕ элементы кольца, то и на свои элементы подавно.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #328738 писал(а):

А то что вы безосновательно обвинили меня в незнании понятия "идеал".

Почему безосновательно?

Не всякой подмножество кольцо, выдерживающее умножение на элементы этого кольца, является идеалом. Топикстартер проверил лишь условие $r(I+J), (I+J)r \subseteq I+J$ и успокоился; однако для доказательства того, что $I+J$ --- идеал, такой проверки недостаточно. Нужно хотя бы проверить тот факт, что $I+J$ --- абелева группа. Я ему на это намекнул, а Вы в ответ выдали

Mathusic в сообщении #328517 писал(а):

Ещё надо доказать, что идеал является множеством :) И предъявить справку, что он не верблюд (!)

Вот что Вы имели в виду? Я это понял так, что Вы считаете, будто для любого множества $X \subseteq R$ свойства $rX \cup Xr \subseteq X$ достаточно для того, чтобы $X$ было идеалом в $R$. Вполне логичное предположение, не правда ли? Особенно в связи с Вашей предыдущей фразой

Mathusic в сообщении #328517 писал(а):

Вы тут заикнулись об идеале. А это уже кольцо.

Дескать, кольцо обязано быть абелевой группой по сложению, а идеал не обязан. Ну а коли так, в чём Вас ещё обвинять, как не в незнании аксиом?

[Mathusic]

Ну да, тогда ваша правда. Когда читал пост 8, точнее после этого поста был уверен, что ТС полагал очевидным, что $I_1+I_2$ кольцо.

[rusbot]

Парни спасибо за помощь) За эту задачу мне поставили плюсик, а за экзамен получил 5!

[Профессор Снэйп]

$5! = 120$. Это где такие оценки ставят?

[rusbot]

Профессор Снэйп в сообщении #329134 писал(а):

$5! = 120$. Это где такие оценки ставят?

вообще я получил 15 баллов из 18 возможных)) есть такой универ педагогический в Питере, называется РГПУ им. Герцена :)