Сумма двух идеалов есть идеал

[rusbot]

Доказать, что сумма двух идеалов есть идеал
Не понимаю как это доказать... Мне дали подсказку, сказали, что нужно составить изоморфизм. Но все равно не понимаю...

[Xaositect]

Изоморфизм составлять не надо. Надо проверить определение идеала.

[Профессор Снэйп]

Идеалы чего? Кольца?

И что такое сумма идеалов?

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328275 писал(а):

И что такое сумма идеалов?

Легко и догадаться - это идеал, порождённый объединением данных идеалов.

[Профессор Снэйп]

То есть в задаче требуется доказать, что идеал является идеалом?

(Оффтоп)

Виктор Пелевин писал(а):

И как же ты, Петька, дошёл до жизни такой, что спрашиваешь меня, своего боевого командира, верно ли, что всё, что происходит у тебя в голове, происходит у тебя в голове?

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #328275 писал(а):

И что такое сумма идеалов?

Множество всевозможных сумм вида $x + y$, где $x$ из одного идеала, а $y$ - из второго

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328283 писал(а):

То есть в задаче требуется доказать, что идеал является идеалом?

Не удержались, чтобы не передёрнуть?
А хотел же написать "множество, порождённое идеалами..."

[rusbot]

Идеалы кольца)
Т.е. задача сводится к следующему условию:
$x\in I_1$, $y\in I_2$ , доказать $x+y\in I_1+I_2$
Я правильно понял?

[Xaositect]

rusbot в сообщении #328300 писал(а):

Я правильно понял?

Нет, это определение суммы.

[rusbot]

Xaositect в сообщении #328310 писал(а):

rusbot в сообщении #328300 писал(а):

Я правильно понял?

Нет, это определение суммы.

А как тогда быть?

[Xaositect]

rusbot в сообщении #328314 писал(а):

А как тогда быть?

Напишите определение идеала.
Дано, что $X$ и $Y$ - идеалы. Проверьте определение идеала для $X + Y = \{z|z = x+ y, x\in X, y\in Y\}$

[rusbot]

Xaositect в сообщении #328316 писал(а):

rusbot в сообщении #328314 писал(а):

А как тогда быть?

Напишите определение идеала.
Дано, что $X$ и $Y$ - идеалы. Проверьте определение идеала для $X + Y = \{z|z = x+ y, x\in X, y\in Y\}$

Понял, спасибо) Буду пробовать:)

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #328291 писал(а):

А хотел же написать "множество, порождённое идеалами..."

Что значит "множество, порождённое идеалами"?

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #328334 писал(а):

Mathusic в сообщении #328291 писал(а):

А хотел же написать "множество, порождённое идеалами..."

Что значит "множество, порождённое идеалами"?

Множество, порождённое всевозможными конечными суммами, слагаемые в которых берутся из данных идеалов.

[rusbot]

$ \left\{ \begin{array}{l} r \in R\\ z \in I_1+I_2 \end{array} \right. $

$\exists x1 $ $\exists x2 $

$ \left\{ \begin{array}{l} r \in R\\ x_1 \in I_1\\ x_2 \in I_2\\ z=x_1+x_2\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} r*x_1 \in I_1\\ r*x_2 \in I_2\\ x_1*r \in I_1\\ x_2*r \in I_2\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} r*x_1 + r*x_2 \in I_1+I_2\\ x_1*r + x_2*r \in I_1+I_2\\ z=x_1+x_2\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} r*(x_1 + x_2) \in I_1+I_2\\ (x_1 + x_2)*r \in I_1+I_2\\ z=x_1+x_2\\ \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} r*z\in I_1+I_2\\ z*r \in I_1+I_2\\ \end{array} \right. $

Я доказал по определению, что сумма двух идеалов есть идеал. Верно доказательство?