Многомерные расширения ТФКП

[Scholium]

Time писал(а):

Я ж Вам их уже выписывал. И в изотропном базисе, и в "ортонормированном". Посмотрите предыдущие посты.. Мне очень интересно, что у Вас получится..

Хорошо, я поищу, как закончу с публикацией результата по кватернионам. Но Вас будет ожидать аналогичный кватернионам результат, зато позволяющий эффективно вычислять практически любые функции на Ваших поличислах.

Time писал(а):

Я это знаю. Но как бы не было для Вас не интересно вычисление единичной окружности важно для меня. Поэтому даже если Вам это не надо, прошу привести именно такой результат..

Если понимать Вас буквально, то вероятно Вы хотите иметь теорию интегрирования на поличислах. Однако, умея эффективно вычислять значения поличисловых функций в точке, можно ставить вопрос и об интегрировании и об дифференцировании этих поличисловых пространств. Но об это естественно, позже, не все сразу :) .

Time писал(а):

Ваш тривиальный результат с нулем для $H_2$ я уже видел от нескольких человек. Я имею ввиду другие результаты, не сводящиеся к обычному нулю. Но об этом поговорим после Вашего анализа случая бикомплексных чисел и связанного с ними пространства.

Я говорю не о результате с нулем, а о результате, не сводящегося к обычному нулю. Разве результат для двойных чисел $a +j b \in \mathbb{H}_2$

$\boxed{f(a + j b) = \frac{f(a+b) + f(a-b)}{2} + j \frac{f(a+b) - f(a-b)}{2}}$

является тривиальным или широко известным? Тогда хотелось бы узнать ссылку.

-- Сб май 15, 2010 21:29:24 --

Руст писал(а):

Да интегрирование по гиперболам так же не помогает. Правда при этом появляются расходимости.

Я уже писал чуть выше, почему это так. Дело не расходимостях, а во взаимной компенсации модуля и аргумента, проходимого по контуру НЕСКОЛЬКИХ кривых отсекающих данную точку от плоскости. Если бы кривая была одна, которая могла бы изолировать точку от оставшейся плоскости, тогда можно было отталкиваться от, например, гиперболического тангенса аргумента, который меняется от -1 до +1, когда сам аргумент меняется от минус до плюс бесконечности.

Руст писал(а):

Формулы с интегрированием в комплексной плоскости известны не только для матриц, но и для операторов в бесконечномерном пространстве, когда появляются нестандартные (по отношению к конечномерному случаю) ситуации. Посмотрите zeta функции для операторов.

Данфорд и Шварц в своем первом томе по линейным операторам много пишут об определении интеграла Коши для бесконечномерного оператора. Однако пока нам рано рассматривать эти случаи.

[Руст]

Цитата:

Я уже писал чуть выше, почему это так. Дело не расходимостях, а во взаимной компенсации модуля и аргумента, проходимого по контуру НЕСКОЛЬКИХ кривых отсекающих данную точку от плоскости. Если бы кривая была одна, которая могла бы изолировать точку от оставшейся плоскости, тогда можно было отталкиваться от, например, гиперболического тангенса аргумента, который меняется от -1 до +1, когда сам аргумент меняется от минус до плюс бесконечности.

гиперболический тангенс меняется от нуля до бесконечности.
Когда есть расходимости, "главное значение" можно определит по разному, так, чтобы результат получился таким каким хочется.

Руст писал(а):

Формулы с интегрированием в комплексной плоскости известны не только для матриц, но и для операторов в бесконечномерном пространстве, когда появляются нестандартные (по отношению к конечномерному случаю) ситуации. Посмотрите zeta функции для операторов.

Данфорд и Шварц в своем первом томе по линейным операторам много пишут об определении интеграла Коши для бесконечномерного оператора. Однако пока нам рано рассматривать эти случаи.[/quote]
Речь о том, что ваши интегралы Коши давно известны и обобщены даже на бесконечномерные случаи.

[Scholium]

Руст писал(а):

гиперболический тангенс меняется от нуля до бесконечности.

Это как посмотреть

Руст писал(а):

Когда есть расходимости, "главное значение" можно определит по разному, так, чтобы результат получился таким каким хочется.

Да нет никаких расходимостей, по крайней мере у меня.

Руст писал(а):

Речь о том, что ваши интегралы Коши давно известны и обобщены даже на бесконечномерные случаи.

А разве речь идет о переоткрытии интегралов Коши для матриц или там бесконечномерных линейных операторов? Просто это очень мощный инструмент для эффективного вычисления поли- и гиперчисловых функций. Смотрите мою тему по вычислению функций от кватернионов. Вы знаете источник, где это уже было кем-то сделано? Так поделитесь!

[STilda]

Scholium, Time, а как ввести операцию возведения в степень для поличисел?
Scholium, например, через матричное представление можете привести пример?

[Time]

STilda в сообщении #328466 писал(а):

Scholium, Time, а как ввести операцию возведения в степень для поличисел?

Поскольку поличисла это коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа, то в отличие от кватернионов, октав и т.п. некоммутативных гиперкомплексных чисел для них корректно определяется не только операция возведения в степень, но и более сложные нелинейные функции. В частности, для алгебры четверных чисел, являющихся прямой суммой четырех действительных алгебр в базисе состоящем из канонических деителей нуля, обладающих таблицей умножения:
$e_ie_j=0$, при $i$ не равном $j$
и
$e_ie_i=e_i$
Любая $h$-аналитическая функция ($h$ означает гиперболическое обобщение пнятия аналитичности) например от четверного поличисла $X=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4$ имеет весьма простую форму представления:
$f(X)=f(x_1)e_1+f(x_2)e_2+f(x_3)e_3+f(x_4)e_4$

где $f(x_i)$ - произвольная аналитическая функция вещественной переменной.

Не сложно заметить, что возведение в степень при этом сводится к правилу:
$f(X)=(x_1)^{a}e_1+(x_2)^{a}e_2+(x_3)^{a}e_3+(x_4)^{a}e_4$

На первый взгляд подобные алгебры на столько тривиальны, что не имеет никакого смысла их изучать. Однако в геометрическом плане им соответствуют не евклидовы пространства, а особого вида линейные финслеровы пространства с метрикой Бервальда-Моора, обладающие не только группами изометрических или конформных преобразований (последние, кстати, образуют бесконечномерные группы как на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях), но и существенно более изощренными, что позволяет говорить о соответствующих им сложных функциях от поличисел, на много более интересных, чем $h$-аналитические, приведенные выше.
С точки зрения гипотетической возможности физической интерпретации таких чисел большую роль играет переход из базиса состоящего из делителей нуля в базис, состоящий из финслерово-ортонормированных векторов, обладающих для алгебры четверных чисел следующей таблицей умножения:

$i^2=1; j^2=1; k^2=1; ij=k=ji; jk=i=kj; ki=j=ik.$

Четвертый вектор такого базиса является обычной действительной единицей.

В таком базисе с обпределенной условностью можно говорить о появлении одной временнОй (связанной с действительной единицей) и
трех пространственных координат (связанных с тремя гиперболически мнимыми единицами), во многом аналогичных ортонормированным координатам пространства-времени Минковского, но во многом и отличных от них. В отличии от многомерных пространств Минковского в таких линейных финслеровых пространствах все n финслеровоортонормированных координат совершенно равноправны, точно также как равноправны две ортонормированные координаты в двумерном пространстве Минковского. Последнее, кстати изоморфно пространству с метрикой Бервальда-Моора при $n=2$ и, как известно, связано с алгеброй так называемых двойных чисел, являющихся прямой суммой двух действительных алгебр и обладающей свойствами оказывающимися гиперболическими аналогами свойств обычных комплекнсых чисел. Двойные числа и h-аналитические функции от них в современной физике интенсивно используются в квантовой теории поля и в теории суперструн, которые во всю эксплуатируют их бесконечномерную конформную группу, которой нет в многомерных псевдоевклидовых пространствах. Данное обстоятельство говорит о потенциальной возможности расширения квантовой теории поля и теории суперструн при замене псевдоримановой геометрии на финслерову связанную с многомерными метриками Бервальда-Моора и связанные с ними функции от поличисел.

[Scholium]

STilda писал(а):

Scholium, Time, а как ввести операцию возведения в степень для поличисел?

На основании определения умножения этих поличисел, при условии наличия степенной ассоциативности.

STilda писал(а):

Scholium, например, через матричное представление можете привести пример?

Матрицы, в том числе матрицы поли- и гиперчисел, умножаются по определению. Но итоговую матрицу нужно еще привести в соответствие к «формату» гиперчисел, чтобы от матриц перейти назад к числам. Проще всего это делать на основании подходящих теорем. В теме Интегральная формула Коши для кватернионов этого раздела имеются соответствующие теоремы и их доказательства для многих гиперчисел. Например, для всех чисел Кэли-Диксона, в т.ч. кватернионов, октонионов (октав), седенионов и т.д. выполняется следующая формула для произвольной аналитической функции $f(z)$ и произвольного гиперкомплексного числа $u$

$f(u) = \text{Re}(f(\lambda)) + \mathcal{U}~\text{Im}(f(\lambda))$,

где

$\lambda = \text{Re}(u) + i | u - \text{Re}(u) |~~\in \mathbb{C}$,

и

$\mathcal{U} = \frac{u - \text{Re}(u)}{| u - \text{Re}(u) |}$ - единичный вектор гиперкомплексного числа.

Чтобы получить значения, скажем для $n$-ой степени любого числа Кэли-Диксона, нужно вычислить действительную и мнимые части функции $z^n = (x + i y)^n \in \mathbb{C}$. В общем случае это будет достаточно громоздкое выражение, поэтому для примера вычислим куб любого гиперкомплексного числа.

Имеем

$(x + i y)^3 = x^3 - 3 x y^2 + i (3 x^2 y - y^3)$,

где $x = \text{Re}(u)$, $y =~| u - \text{Re}(u) |$ - модуль векторной части гиперкомплексного числа.

Следовательно,

$u^3 = x^3 - 3 x y^2 + (3 x^2 y - y^3)~\mathcal{U} = x^3 - 3 x y^2 + (3 x^2 - y^2)~(u - x)$

или

$u^3 = \text{Re}^3(u) - 3 \text{Re}(u)~| u - \text{Re}(u) |^2 + (3 \text{Re}^2 (u) -~| u - \text{Re}(u) |^2)~(u - \text{Re}(u))$.

Вы можете проверить эту формулу для матриц кватернионов, непосредственно умножая их матрицы. Однако для октонионов, седенионов и т.д., матриц этих чисел не существует, тем не менее, все представленные формулы верны и для них.

Для двойных и дуальных чисел, а также для поличисел Павлова, аналогичные формулы Вы можете найти в указанной теме.

[STilda]

Возведение числа в натуральную степень $n$ вводится как $n$-кратное умножение числа самого на себя. На этом шаге вопросов не возникает. Такая операция возведения в степень просто сокращенная запись $n$ кратного умножения и систему не расширяет. Интересно, как вы введете степень для не натуральных показателей степеней.
Time, вот вы привели систему четверных чисел $1^2=i^2=j^2=k^2=ijk=1$. Как вычислить $(3i+j)^3$ понятно. А как вычислить $i^k$ или $(i+j)^{2k+1}$?

[Руст]

Цитата:

На основании определения умножения этих поличисел, при условии наличия степенной ассоциативности.

Для определения дробьных (тем более иррациональных) степеней не достаточно ассоциативность степеней. Нужно как минимум альтернативность. Так как соответствующую степень приходится определять через матрицы умножения слева и справа. Если нет альтернативности уже квадрату $x^2$ соответствует матрица не являющаяся квадратом матрицы умножения на $x$.
К тому же возникает еще вопрос о представимости соответствующих матриц умножения слева и справа через линейную комбинацию матриц умножения на базисные элементы слева и справа. Причем они (линейные комбинации) должны совпасть. Только тогда мы можем считать, что вычислили соответствующую не целую степень. При этом могут возникать неоднозначности как в случае квадратного корня от отрицательных чисел, рассмотренных как кватернионы.

[Scholium]

STilda писал(а):

Возведение числа в натуральную степень $n$ вводится как $n$-кратное умножение числа самого на себя. На этом шаге вопросов не возникает. Такая операция возведения в степень просто сокращенная запись $n$ кратного умножения и систему не расширяет. Интересно, как вы введете степень для не натуральных показателей степеней.

Если Вас интересуют функции от матриц как таковые, то почитайте «Теорию матриц» Гантмахера или Ланкастера, учебник по высшей математике (т.3, ч.2) Смирнова, статьи Лаппо-Данилевского и т.д. Там все очень подробно изложено. В указанной мной теме есть ссылка на pdf-файл, в котором присутствует интегральная формула Коши для матриц, которая, по сути, является определением аналитических функций от матриц и дан пример вычисления корня квадратного от кватерниона, не равного тождественно действительному числу (корень квадратный над телом кватернионов от отрицательного числа имеет бесконечное количество значений). Но даже здесь приведена универсальная формула для аналитических функций от гиперкомплекных чисел (получаемых процедурой удвоения Кэли-Диксона)

$f(u) = \text{Re}(f(\lambda)) + \mathcal{U}~\text{Im}(f(\lambda))$.

Рассмотрите функцию

$f(z) = z^{\alpha} = e^{\alpha \ln(z)} = e^{\alpha (\ln(| z | + i \arg(z))} =~| z |^{\alpha} (\cos(\arg(z)) + i \sin(\arg(z)))^{\alpha}$, $\alpha \in \mathbb{R}$,

подставьте ее действительную и мнимую часть для $z = \lambda = \text{Re}(u) + i | u - \text{Re}(u) |$ в предыдущую формулу и получите, принципе, нужный ответ. (Примеры с экспонентой, логарифмом и аргументом также есть в указанном pdf-файле.)

-- Пн июн 07, 2010 12:50:40 --

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

На основании определения умножения этих поличисел, при условии наличия степенной ассоциативности.

Для определения дробьных (тем более иррациональных) степеней не достаточно ассоциативность степеней. Нужно как минимум альтернативность. Так как соответствующую степень приходится определять через матрицы умножения слева и справа. Если нет альтернативности уже квадрату $x^2$ соответствует матрица не являющаяся квадратом матрицы умножения на $x$.

Седенионы обладают альтернативностью? Или числа Кэли-Диксона более высокого порядка? Если нет, то формула

$f(u) = \text{Re}(f(\lambda)) + \mathcal{U}~\text{Im}(f(\lambda))$

все равно верна для них. А если есть только альтернативность некоторых гиперчисел, то разве существуют матрицы для них?

Руст писал(а):

К тому же возникает еще вопрос о представимости соответствующих матриц умножения слева и справа через линейную комбинацию матриц умножения на базисные элементы слева и справа. Причем они (линейные комбинации) должны совпасть. Только тогда мы можем считать, что вычислили соответствующую не целую степень. При этом могут возникать неоднозначности как в случае квадратного корня от отрицательных чисел, рассмотренных как кватернионы.

Я бы еще добавил, что в этом случае возникает еще вопрос о применимости соответствующих матриц к гиперчислам, не обладающим ассоциативностью.

[Time]

STilda в сообщении #328578 писал(а):

Возведение числа в натуральную степень вводится как -кратное умножение числа самого на себя. На этом шаге вопросов не возникает. Такая операция возведения в степень просто сокращенная запись кратного умножения и систему не расширяет. Интересно, как вы введете степень для не натуральных показателей степеней.

На множестве поличисел легко и естественно вводится понятие экспоненциальной функции со всеми обычно вытекающими из этого последствиями. В частности, появляются обобщения формулы Эйлера и возможность вычислять степени не только с натуральными или вещественными значениями, но и с гиперкомплексными. Так же определена (но не везде) обратная функция к экспоненциальной, которую можно называть логарифмом от поличисла.
Приведенная Вами пара примеров получает свои ответы довольно просто, причем поступить можно двумя способами.
Первый, что называется "в лоб".
Сперва поличисло, выступающее основанием, приводится к экспоненциальной форме представления вида:
$X=Sexp(ia+jb+kc)$
где $S$ - модуль, $a, b, c$ - аргументы, являющиеся действительными числами. Для всех четырех параметров есть формулы перехода (во всяком случае, для тех поличисел, которым сответствуют вектора принадлежащие конусу будущего).
Потом, действуя по правилам таблицы умножения, получаете поличисло равное произведению двух степеней.
На последнем этапе переходите от числа в экспоненциальной форме представления к исходной алгебраической.
Все в точности аналогично подобной процедуре в обычных комплексных числах или в двойных (являющихся гиперболическим аналогом первых).

Есть и второй вариант получения значения возведения в гиперкомплексную степень гиперкомплексного поличисла.
Сперва поличисла основания и показателя степенной функции пепеводите в изотропный базис, состоящий из канонических делителей нуля (в посте выше обозначенных как $e_i$).
Получаете две новые формы:
$X=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4$
$Y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3+y_4e_4$

Степенная функция тогда приобретает вид
$X^{Y}=(x_1)^{y_1}e_1+(x_2)^{y_2}e_2+(x_3)^{y_3}e_3+(x_4)^{y_4}e_4$
и фактически сводится к вычислению обычных степенных функций с вещественными степенями и показателями.
Результирующее поличисло переводите обратно в базис состоящий из единиц $1, i, j, k$ и любуетесь результатом.
Во втором случае даже нет ограничений на принадлежность вектора, соответствующего поличислу, конусу будущего. Можно работать и с делителями нуля. Минус этого способа - в необходимости постоянного перехода из базиса в базис, причем сам изотропный базис нельзя связать с физически осмысленными системами отсчета, так как соответствующие ему вектора лежат на световом конусе.


Повторю еще раз. С обычными гиперкомплексными аналогами аналитических функций комплексной и двойной переменных при работе на множестве поличисел общего вида особых проблем не возникает. Некоторое своеобразие вносится делителями нуля, но не особенно большое и не доставляющее слишком уж много хлопот. А имея ввиду возможные физические приложения поличисел к геометрии пространства-времени так вообще они становятся весьма естественными и нужными объектами, так как им соответствуют точки и вектора световых конусов ассоциируемых финслеровых пространств.
Обратите внимание на более важное обстоятельство.
На множествах поличисел размерности n>2, кроме $h$-аналитических функций есть место для существенно более интересных функций. Мы их пока называем обобщенно аналитическими. Их появление связано с тем, что геометрия соответствующих пространств не квадратичная, а n-арная финслерова. Отсюда кроме длин и углов появляются более сложные метрические инварианты, характеризующие меры фигур состоящих из трех и более векторов, которых не было в обычных геометриях со скалярным произведением. Иными словами, анализом на поличислах дело не ограничивается, а появляется, если можно так выразиться, суперанализ. То есть, при преобразованиях связанных с такими обобщенно аналитическими функциями инвариантными остаются не интервалы или углы, а их финслеровы обобщения на полиуглы. При этом обычные линейные и h-аналитические функции от поличисел оказываются просто подмножествами этих более общего вида классов функций. И это при том, что первых оказывается бесконечнопараметрическое множество, точно такое же по размерности как у комплексных и двойных чисел.

[Руст]

Цитата:

Седенионы обладают альтернативностью? Или числа Кэли-Диксона более высокого порядка? Если нет, то формула

$f(u) = \text{Re}(f(\lambda)) + \mathcal{U}~\text{Im}(f(\lambda))$

все равно верна для них. А если есть только альтернативность некоторых гиперчисел, то разве существуют матрицы для них?

Я говорил о трудностях определения степени гиперчисла через их матрицы умножения. Если нет альтернативности такой метод не работает. Для альтернативных он работает за исключением случая неопределенности мнимой единицы. Для алгебр с ассоциативными степенями можно определить ограничившись представлением элемента х на конечномерном подпространстве R(x) натянутом на векторы $1,x,x^2,...$, где умножение не только ассоциативно, но и коммутативно. Но в алгебрах с нильпотентами и делителями нуля появляется дополнительная неоднозначность связанная с ограничением пространства представления от всех гиперчисел на R(x).
Типичное (совпадающее с вашим) определение

$$x^{\alpha}=(1+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}y^k, \ \binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha *(\alpha -1)...(\alpha-k+1)}{k!}, \ y=x-1.$$

вообще говоря не всегда работает даже в ассоциативном коммутативном случае. В качестве примера рассмотрим коммутативную, ассоциативную алгебру натянутую на $1,a,a^2,a^3, \ a^4=0$ю
При извлечении квадратного корня из $x=a^2$ по вашему методу (точнее по типичному методу, являющееся обобщением вашего) мы получим $c_1+c_2a^2$, никак не $a$. Все это связано с ограничением пространства представления на $R(x)$ от всех гиперчисел. Без ограничения можно работать только в случае альтернативности.

Цитата:

Я бы еще добавил, что в этом случае возникает еще вопрос о применимости соответствующих матриц к гиперчислам, не обладающим ассоциативностью.

С этим все в порядке для альтернативных алгебр.

[Scholium]

Руст писал(а):

Я говорил о трудностях определения степени гиперчисла через их матрицы умножения. Если нет альтернативности такой метод не работает.

Вот мне и интересно, сохраняется ли альтернативность для гиперкомплексных чисел? Если нет, а формулы для аналитической функции от гиперчисла выполняются, то зачем тогда нужна альтернативность? Вы говорите о матрицах, но их использование в этих случаях должно опираться на определенную алгебраическую теорему. Какую теорему Вы имеете в виду?

Руст писал(а):

При извлечении квадратного корня из $x=a^2$ по вашему методу (точнее по типичному методу, являющееся обобщением вашего) мы получим $c_1+c_2a^2$, никак не $a$. Все это связано с ограничением пространства представления на $R(x)$ от всех гиперчисел. Без ограничения можно работать только в случае альтернативности.

Вообще-то я с трудом понимаю, о чем Вы говорите? О каких константах идет речь? Вот формула для квадратного корня, которая должна быть верна для всех гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона $u$, таких что, $| u - \text{Re}(u) | \neq 0$,

$\sqrt{u} = \pm \left ( \sqrt{\frac{| u | + \text{Re}(u)}{2}} + \frac{u - \text{Re}(u)}{| u - \text{Re}(u) |} \sqrt{\frac{| u | - \text{Re}(u)}{2}} \right )$.

Допустим, Вы утверждаете, что эта формула не верна, для такого-то и такого-то случая и обосновываете это, хотя бы контрпримером. Это уже будет понятно и этот факт можно будет уже обсуждать. А так, Вы явно опираетесь на некие результаты, которые мне не известны. Поэтому, я могу только промолчать, но никак не согласиться. Да, и о каком «типичном методе» Вы говорите? Можно ссылку?

[Руст]

Цитата:

Вот мне и интересно, сохраняется ли альтернативность для гиперкомплексных чисел? Если нет, а формулы для аналитической функции от гиперчисла выполняются, то зачем тогда нужна альтернативность? Вы говорите о матрицах, но их использование в этих случаях должно опираться на определенную алгебраическую теорему. Какую теорему Вы имеете в виду?

Я специально не интересовался, кажется альтернативность имеет место для всех алгебр Кэли-Диксона. Но вы начали интересоваться степенными функциями в общих алгебрах с ассоциативными степенями. Эта функция не является всюду аналитической и возникает проблемы в типичном определении. Под этим я понимаю следующее: Пусть задана аналитическая функция в виде ряда Тейлора

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

. Тогда для вычисления $f(x)$ для гиперчисла х удовлетворяющегося минимальному полиномиальному (характеристическому) уравнению $g(x)=0$ степени k и функции (ряды) факторизуют по идеалу порожденному g(x) и вычисляют их как полином степени k-1. Раз вы знакомы с функциями над матрицами вы должны знать это. Тут при вычислении соответствующего полинома k-1 степени можно использовать интерполяционный полином Лагранжа в случае, когда отсутствуют кратные корни. По сути такое вычисление связано с представлением х на множестве натянутом толко на $R(x)$ а не на всем пространстве гиперчисел. В случае альтернативности имеется представление умножения слева и справа на всех гиперчислах и степеням числа соответствуют степени соответствующих матриц. А это позволяет определит функцию от х как функцию от матриц на всем пространстве гиперчисел.
Все неоднозначности в вычислении степени $x^{\alpha}=exp(\alpha \ln (x))$ связаны с не однозначностью логарифма, т.е. с не инъективностью exp (ln - обратная функция от не инкъективной exp).

[Scholium]

Руст писал(а):

Я специально не интересовался, кажется альтернативность имеет место для всех алгебр Кэли-Диксона. Но вы начали интересоваться степенными функциями в общих алгебрах с ассоциативными степенями.

Просто мне кажется, что для выполнения формулы для аналитической функции от гиперкомплексного числа Кэли-Диксона достаточно одной степенной ассоциативности. Теорема Людковского утверждает, что такая степенная ассоциативность сохраняется для всех гиперчисел. Если Вы утверждаете, что сохраняется и альтернативность, то при отсутствии такого результата, Вы могли бы сделать его собственной теоремой. Мне конечно интересно, зачем нужна альтернативность для формулы гиперчисел, но в общем случае меня больше интересует обоснование применение матриц в неассоциативных алгебрах.

Руст писал(а):

Эта функция не является всюду аналитической и возникает проблемы в типичном определении. Под этим я понимаю следующее: Пусть задана аналитическая функция в виде ряда Тейлора $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$. Тогда для вычисления $f(x)$ для гиперчисла х удовлетворяющегося минимальному полиномиальному (характеристическому) уравнению $g(x)=0$ степени k и функции (ряды) факторизуют по идеалу порожденному g(x) и вычисляют их как полином степени k-1. Раз вы знакомы с функциями над матрицами вы должны знать это. Тут при вычислении соответствующего полинома k-1 степени можно использовать интерполяционный полином Лагранжа в случае, когда отсутствуют кратные корни. По сути такое вычисление связано с представлением х на множестве натянутом толко на $R(x)$ а не на всем пространстве гиперчисел. В случае альтернативности имеется представление умножения слева и справа на всех гиперчислах и степеням числа соответствуют степени соответствующих матриц. А это позволяет определит функцию от х как функцию от матриц на всем пространстве гиперчисел.

Как по мне, то гораздо лучше использовать для определения аналитической функции от ассоциативных гиперчисел интегральную формул Коши для матриц. Она, конечно эквивалентна Вашему определению при некоторых условиях, но гораздо удобней для вычислительных целей. Что касается применения матриц в случае только альтернативности, то меня интересует литература по этому вопросу, потому как в этом вопросе я не специалист.

Руст писал(а):

Все неоднозначности в вычислении степени $x^{\alpha}=exp(\alpha \ln (x))$ связаны с не однозначностью логарифма, т.е. с не инъективностью exp (ln - обратная функция от не инкъективной exp).

Ну, так эта проблема идет еще от комплексных чисел, но там с этой проблемой научились бороться.

[STilda]

Scholium в сообщении #328728 писал(а):

Ну, так эта проблема идет еще от комплексных чисел, но там с этой проблемой научились бороться.

Нет, не научились. Потому то и спрашиваю как Time вводит возведение в степени. Боюсь будут те же проблемы и для поличисел. (http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation Failure of power and logarithm identities)