задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)

[ADRenaLIN]

у нас ведь считается, что случайные величины одинаково распределены?

-- Чт май 27, 2010 16:30:27 --

полагаю, что нет... во втором случае дисперсия неограничена...
тогда теореме Чебышева 2й случай не удовлетворяет.

а в усиленном законе больших чисел я запуталась:(

[--mS--]

ADRenaLIN в сообщении #324469 писал(а):

у нас ведь считается, что случайные величины одинаково распределены?

Считать можно всё, что угодно. А они одинаково распределены? Напишите таблицы распределения третьей и седьмой.

[ADRenaLIN]

Соник, помогите с этой задачей еще раз. Мы ее уже обсуждали, но руки до нее дошли только сейчас...
Задача.
По заданной плотности распределения $p(x_1,x_2)$ равномерной случайной величины $(e_1,e_2)$ найти плотность распределения $p(y_1,y_2)$ двумерной случайной величины $(u_1,u_2)$, связанной взаимно однозначно с $(e_1,e_2)$ указанным соотношением. $p(x_1,x_2,)=\frac{1}{4*{\pi}}*\exp(-0.5(\frac{x_1^2}{1}+\frac{x_2^2}{2^2}))$,
$e_1=u_1*cosu_2, e2=2*u_1*sinu_2,$
$0<=u_1<=$бесконечности, $0<=u_2<=2*{\pi}$
Я порешала... По $p(x_1,x_2)$ искала функцию распределения, получила, что опять надо функцию Лапласа использовать... у меня получилось, что $F_e=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(x_1)*{\Phi}(x_2)$. Вместо $x_1$ и $x_2$ подставила $e_1=u_1*cosu_2, e2=2*u_1*sinu_2,$, получила $F_u=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_2*siny_2)$. А дальше? Там что-то со второй смешанной производной должно быть. Опять пойдем переход от функции Лапласа к интегралам?

[ADRenaLIN]

ADRenaLIN в сообщении #326059 писал(а):

Соник, получила $F_u=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_2*siny_2)$.

там некрасивое выражение получилось...
$F'(y_1,y_2)_{y_1}=\frac{1}{2*{\pi}}*(cosy_2*{\Phi}'(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)+2siny_2*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}'(2y_1*siny_2))$
вторая смешанная производная еще страшнее...

-- Вт июн 01, 2010 07:26:47 --

ADRenaLIN в сообщении #323664 писал(а):

Задача.
Дана плотность распределения $p_e_1(x)$ случайной величины $e_1$. Найти плотность распределения $p_e_2(y)$, математическое ожидание $M_e_2$, дисперсию $D_e_2$ случайной величины, которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$.
$p_e_1(x)=1/2$, $0<=x<=2$, $p_e_1(x)=0$ $x<0$, $x>2$

Предлагаю еще вернуться к этой задаче... Думала-думала, а "допендрить" никак не получилось "что к чему" :(
Осталось только две задачи и все... остальные 38 сделала

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

там некрасивое выражение получилось...

Вы уверены? Вспомните определение $\Phi (x)$ и из него найдите, чему равно $\Phi '(x)$. Я ее решал когда-то, там все красиво выходило.

По-моему, у Вас в функции распределения $F_e(x_1;x_2)$ маленькая ошибка - Вы коэффициент забыли при $x_2$.
Вот Вы $F_e$ нашли, подставили $e_j = f(u_j)$ и у Вас получилась функция распределения $F_u$. Теперь Вы находите смешанную производную $\frac{\partial ^2F_u}{\partial y_1 \partial y_2}$. Вот только Вы ее неправильно нашли. Переменные $y_j$ независимы. Найдите, например, $\frac{\partial}{\partial x}(xy)$, посмотрите, что получилось и сравните с тем, как Вы дифференцировали.

-- Вт июн 01, 2010 08:10:33 --

ADRenaLIN писал(а):

Предлагаю еще вернуться к этой задаче...

Слушайте, а я ведь Вам наврал У нас же $e_2 = f(e_1)$, распределение $e_1$ задано, значит находим плотность вероятности $p_2(y)$ и все. Как в предыдущей задаче! Только предыдущая задача двумерная, а здесь - одномерная! Тоже у нас дано $p_1(x)$ и тогда вычисляем по цепочке $p_1(x) \to F_1(x) \to F_2(y) \to p_2(y)$.
И не надо никакой треугольник в координатной плоскости располагать.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #326175 писал(а):

По-моему, у Вас в функции распределения $F_e(x_1;x_2)$ маленькая ошибка - Вы коэффициент забыли при $x_2$.

пересчитала, все равно получилось, что $F_e(x_1;x_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(x_1)*{\Phi}(x_2)$
по коэффициенту при $x_2$
$\exp(-1*\frac{x_2^2}{8})=\exp(-1*\frac{(0.5*x_2)^2}{2})$
потом брала $d(x_2)=2*d(0.5*x_2)$,чтобы учесть коэффициент

-- Вт июн 01, 2010 08:26:07 --

далее делаем замену $x_1=y_1*cosy_2$ и $x_2=2*y_1*siny_2$
получаем
$F_u(y_1,y_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)$
где ошибка?
или я не правильно поняла

-- Вт июн 01, 2010 08:37:35 --

ADRenaLIN в сообщении #326164 писал(а):

$F'_{y_1}(y_1,y_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*(cosy_2*{\Phi}'(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)+2siny_2*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}'(2y_1*siny_2))$

получила тоже самое...

-- Вт июн 01, 2010 08:40:52 --

$\frac{\partial}{\partial y_1}({\Phi}(y_1*cosy_2))={\Phi}'(y_1*cosy_2)*(y_1*cosy_2)'_{y_1}={\Phi}'(y_1*cosy_2)*cosy_2$


-- Вт июн 01, 2010 08:45:10 --

Sonic86 в сообщении #326175 писал(а):

Слушайте, а я ведь Вам наврал У нас же $e_2 = f(e_1)$, распределение $e_1$ задано, значит находим плотность вероятности $p_2(y)$ и все. Как в предыдущей задаче! Только предыдущая задача двумерная, а здесь - одномерная! Тоже у нас дано $p_1(x)$ и тогда вычисляем по цепочке $p_1(x) \to F_1(x) \to F_2(y) \to p_2(y)$.
И не надо никакой треугольник в координатной плоскости располагать.

а зачем про сторону треугольника указано в условии задачи?

[Sonic86]

Ну вот, Вы когда считали $\Phi (x_2)$ у Вас должно было получится $\Phi (kx_2)$.Чему равно $k$?

Производную уже лучше посчитали, осталось узнать $\Phi ' (x)$

Фраза $e_2$ - площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$ определяет $f$ в соотношении $e_2=f(e_1)$.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #326219 писал(а):

Ну вот, Вы когда считали $\Phi (x_2)$ у Вас должно было получится $\Phi (kx_2)$.Чему равно $k$?

$k=\frac{1}{2}$ тогда получается

[Sonic86]

Ну вот.
Осталось теперь определить, чему равно $\Phi '(x)$.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #326285 писал(а):

Ну вот.
Осталось теперь определить, чему равно $\Phi '(x)$.

подинтегральному выражению

-- Вт июн 01, 2010 16:09:01 --

т.е. ${\Phi}'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}
значит
${\Phi}'(y_1*cos_2)=e^{-\frac{(y_1*cosy_2)^2}{2}}$
правильно?

-- Вт июн 01, 2010 16:39:04 --

по второй задаче нашла, что $F_1(x)=0$ при $x<=0$; $F_1(x)=\frac{1}{2}x$ при $0<x<=2$ и $F_1(x)=1$ при $x>2$
а что дальше? как подставить $e_2=f(e_1)$? не поняла я :(

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

правильно?

вот! конечно правильно. Вот теперь попробуйте все-таки целиком вычислить плотность $p(y_1;y_2)$, умея правильно дифференцировать и зная, что $\Phi '(x) = e^{- \frac{x^2}{2}}$.

ADRenaLIN писал(а):

а что дальше? как подставить $e_2=f(e_1)$? не поняла я :(

По смыслу $x$ и $y$ - это границы значений $e_1$ и $e_2$, то есть например $F_1(x)=P(e_1<x)$. Соответственно, если $e_2=f(e_1)$, то $y=f(x)$. Ну нам надо $x=g(y)$, значит придется найти обратную функцию $f^{-1}$ и подставить $f^{-1}(y)$ в $F_1(x)$. Понятно?

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #326633 писал(а):

По смыслу $x$ и $y$ - это границы значений $e_1$ и $e_2$, то есть например $F_1(x)=P(e_1<x)$. Соответственно, если $e_2=f(e_1)$, то $y=f(x)$. Ну нам надо $x=g(y)$, значит придется найти обратную функцию $f^{-1}$ и подставить $f^{-1}(y)$ в $F_1(x)$. Понятно?

ничего не поняла

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

ничего не поняла

почему???
Я ж Вам говорю: надо подставить $x=f^{-1}(y)$. $f$ берется из соотношения $e_2=f(e_1)$, а почему именно оттуда - я уже написал.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #326637 писал(а):

почему???
Я ж Вам говорю: надо подставить $x=f^{-1}(y)$. $f$ берется из соотношения $e_2=f(e_1)$, а почему именно оттуда - я уже написал.

[Sonic86]

блин, я плохо объясняю?
Давайте еще раз попробуем: берем какое-то конкретное значение $y$ и берем неравенство $e_2<y$. Неравенству удовлетворяет множество значений случайной величины $e_2 \in (- \infty ;y)$ . Кроме того, мы знаем, что $e_2=f(e_1)$. Функция $f$ у нас возрастает, поэтому если подставить $e_2=f(e_1)$ и решить неравенство $f(e_1)<y$, то мы получим $e_1 \in (- \infty ;x)$. А так как $e_2=f(e_1)$, то функция $f $ переводит интервал $(- \infty ;x)$ в интервал $(- \infty ;y)$ и в частности она переводит граничное значение в граничное значение: $y=f(x)$.

Может быть найдем сначала $f$?
Можкт быть что-то конкретно непонятно?