2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение27.05.2010, 15:22 


26/04/10
116
у нас ведь считается, что случайные величины одинаково распределены?

-- Чт май 27, 2010 16:30:27 --

полагаю, что нет... во втором случае дисперсия неограничена...
тогда теореме Чебышева 2й случай не удовлетворяет.

а в усиленном законе больших чисел я запуталась:(

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение27.05.2010, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
ADRenaLIN в сообщении #324469 писал(а):
у нас ведь считается, что случайные величины одинаково распределены?

Считать можно всё, что угодно. А они одинаково распределены? Напишите таблицы распределения третьей и седьмой.

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение31.05.2010, 21:17 


26/04/10
116
Соник, помогите с этой задачей еще раз. Мы ее уже обсуждали, но руки до нее дошли только сейчас...
Задача.
По заданной плотности распределения $p(x_1,x_2)$ равномерной случайной величины $(e_1,e_2)$ найти плотность распределения $p(y_1,y_2)$ двумерной случайной величины $(u_1,u_2)$, связанной взаимно однозначно с $(e_1,e_2)$ указанным соотношением. $p(x_1,x_2,)=\frac{1}{4*{\pi}}*\exp(-0.5(\frac{x_1^2}{1}+\frac{x_2^2}{2^2}))$,
$e_1=u_1*cosu_2, e2=2*u_1*sinu_2,$
$0<=u_1<=$бесконечности, $0<=u_2<=2*{\pi}$
Я порешала... По $p(x_1,x_2)$ искала функцию распределения, получила, что опять надо функцию Лапласа использовать... у меня получилось, что $F_e=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(x_1)*{\Phi}(x_2)$. Вместо $x_1$ и $x_2$ подставила $e_1=u_1*cosu_2, e2=2*u_1*sinu_2,$, получила $F_u=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_2*siny_2)$. А дальше? Там что-то со второй смешанной производной должно быть. Опять пойдем переход от функции Лапласа к интегралам?

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 06:15 


26/04/10
116
ADRenaLIN в сообщении #326059 писал(а):
Соник, получила $F_u=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_2*siny_2)$.

там некрасивое выражение получилось...
$F'(y_1,y_2)_{y_1}=\frac{1}{2*{\pi}}*(cosy_2*{\Phi}'(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)+2siny_2*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}'(2y_1*siny_2))$
вторая смешанная производная еще страшнее...

-- Вт июн 01, 2010 07:26:47 --

ADRenaLIN в сообщении #323664 писал(а):
Задача.
Дана плотность распределения $p_e_1(x)$ случайной величины $e_1$. Найти плотность распределения $p_e_2(y)$, математическое ожидание $M_e_2$, дисперсию $D_e_2$ случайной величины, которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$.
$p_e_1(x)=1/2$, $0<=x<=2$, $p_e_1(x)=0$ $x<0$, $x>2$

Предлагаю еще вернуться к этой задаче... Думала-думала, а "допендрить" никак не получилось "что к чему" :(
Осталось только две задачи и все... остальные 38 сделала

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 07:02 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ADRenaLIN писал(а):
там некрасивое выражение получилось...

Вы уверены? :lol: Вспомните определение $\Phi (x)$ и из него найдите, чему равно $\Phi '(x)$. Я ее решал когда-то, там все красиво выходило.

По-моему, у Вас в функции распределения $F_e(x_1;x_2)$ маленькая ошибка - Вы коэффициент забыли при $x_2$.
Вот Вы $F_e$ нашли, подставили $e_j = f(u_j)$ и у Вас получилась функция распределения $F_u$. Теперь Вы находите смешанную производную $\frac{\partial ^2F_u}{\partial y_1 \partial y_2}$. Вот только Вы ее неправильно нашли. Переменные $y_j$ независимы. Найдите, например, $\frac{\partial}{\partial x}(xy)$, посмотрите, что получилось и сравните с тем, как Вы дифференцировали.

-- Вт июн 01, 2010 08:10:33 --

ADRenaLIN писал(а):
Предлагаю еще вернуться к этой задаче...

Слушайте, а я ведь Вам наврал :-( У нас же $e_2 = f(e_1)$, распределение $e_1$ задано, значит находим плотность вероятности $p_2(y)$ и все. Как в предыдущей задаче! Только предыдущая задача двумерная, а здесь - одномерная! Тоже у нас дано $p_1(x)$ и тогда вычисляем по цепочке $p_1(x) \to F_1(x) \to F_2(y) \to p_2(y)$.
И не надо никакой треугольник в координатной плоскости располагать.

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 07:22 


26/04/10
116
Sonic86 в сообщении #326175 писал(а):
По-моему, у Вас в функции распределения $F_e(x_1;x_2)$ маленькая ошибка - Вы коэффициент забыли при $x_2$.

пересчитала, все равно получилось, что $F_e(x_1;x_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(x_1)*{\Phi}(x_2)$
по коэффициенту при $x_2$
$\exp(-1*\frac{x_2^2}{8})=\exp(-1*\frac{(0.5*x_2)^2}{2})$
потом брала $d(x_2)=2*d(0.5*x_2)$,чтобы учесть коэффициент

-- Вт июн 01, 2010 08:26:07 --

далее делаем замену $x_1=y_1*cosy_2$ и $x_2=2*y_1*siny_2$
получаем
$F_u(y_1,y_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)$
где ошибка?
или я не правильно поняла

-- Вт июн 01, 2010 08:37:35 --

ADRenaLIN в сообщении #326164 писал(а):
$F'_{y_1}(y_1,y_2)=\frac{1}{2*{\pi}}*(cosy_2*{\Phi}'(y_1*cosy_2)*{\Phi}(2*y_1*siny_2)+2siny_2*{\Phi}(y_1*cosy_2)*{\Phi}'(2y_1*siny_2))$

получила тоже самое...

-- Вт июн 01, 2010 08:40:52 --

$\frac{\partial}{\partial y_1}({\Phi}(y_1*cosy_2))={\Phi}'(y_1*cosy_2)*(y_1*cosy_2)'_{y_1}={\Phi}'(y_1*cosy_2)*cosy_2$


-- Вт июн 01, 2010 08:45:10 --

Sonic86 в сообщении #326175 писал(а):
Слушайте, а я ведь Вам наврал :-( У нас же $e_2 = f(e_1)$, распределение $e_1$ задано, значит находим плотность вероятности $p_2(y)$ и все. Как в предыдущей задаче! Только предыдущая задача двумерная, а здесь - одномерная! Тоже у нас дано $p_1(x)$ и тогда вычисляем по цепочке $p_1(x) \to F_1(x) \to F_2(y) \to p_2(y)$.
И не надо никакой треугольник в координатной плоскости располагать.

а зачем про сторону треугольника указано в условии задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 10:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ну вот, Вы когда считали $\Phi (x_2)$ у Вас должно было получится $\Phi (kx_2)$.Чему равно $k$?

Производную уже лучше посчитали, осталось узнать $\Phi ' (x)$

Фраза $e_2$ - площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$ определяет $f$ в соотношении $e_2=f(e_1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 13:40 


26/04/10
116
Sonic86 в сообщении #326219 писал(а):
Ну вот, Вы когда считали $\Phi (x_2)$ у Вас должно было получится $\Phi (kx_2)$.Чему равно $k$?

$k=\frac{1}{2}$ тогда получается

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 14:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Ну вот.
Осталось теперь определить, чему равно $\Phi '(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение01.06.2010, 15:01 


26/04/10
116
Sonic86 в сообщении #326285 писал(а):
Ну вот.
Осталось теперь определить, чему равно $\Phi '(x)$.

подинтегральному выражению

-- Вт июн 01, 2010 16:09:01 --

т.е. ${\Phi}'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}
значит
${\Phi}'(y_1*cos_2)=e^{-\frac{(y_1*cosy_2)^2}{2}}$
правильно?

-- Вт июн 01, 2010 16:39:04 --

по второй задаче нашла, что $F_1(x)=0$ при $x<=0$; $F_1(x)=\frac{1}{2}x$ при $0<x<=2$ и $F_1(x)=1$ при $x>2$
а что дальше? как подставить $e_2=f(e_1)$? не поняла я :(

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение02.06.2010, 06:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ADRenaLIN писал(а):
правильно?

вот! :-) конечно правильно. Вот теперь попробуйте все-таки целиком вычислить плотность $p(y_1;y_2)$, умея правильно дифференцировать и зная, что $\Phi '(x) = e^{- \frac{x^2}{2}}$.
ADRenaLIN писал(а):
а что дальше? как подставить $e_2=f(e_1)$? не поняла я :(

По смыслу $x$ и $y$ - это границы значений $e_1$ и $e_2$, то есть например $F_1(x)=P(e_1<x)$. Соответственно, если $e_2=f(e_1)$, то $y=f(x)$. Ну нам надо $x=g(y)$, значит придется найти обратную функцию $f^{-1}$ и подставить $f^{-1}(y)$ в $F_1(x)$. Понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение02.06.2010, 06:58 


26/04/10
116
Sonic86 в сообщении #326633 писал(а):
По смыслу $x$ и $y$ - это границы значений $e_1$ и $e_2$, то есть например $F_1(x)=P(e_1<x)$. Соответственно, если $e_2=f(e_1)$, то $y=f(x)$. Ну нам надо $x=g(y)$, значит придется найти обратную функцию $f^{-1}$ и подставить $f^{-1}(y)$ в $F_1(x)$. Понятно?

ничего не поняла :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение02.06.2010, 07:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ADRenaLIN писал(а):
ничего не поняла :shock:

почему??? :shock:
Я ж Вам говорю: надо подставить $x=f^{-1}(y)$. $f$ берется из соотношения $e_2=f(e_1)$, а почему именно оттуда - я уже написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение02.06.2010, 07:24 


26/04/10
116
Sonic86 в сообщении #326637 писал(а):
почему??? :shock:
Я ж Вам говорю: надо подставить $x=f^{-1}(y)$. $f$ берется из соотношения $e_2=f(e_1)$, а почему именно оттуда - я уже написал.

:cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)
Сообщение02.06.2010, 07:43 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
блин, я плохо объясняю? :-(
Давайте еще раз попробуем: берем какое-то конкретное значение $y$ и берем неравенство $e_2<y$. Неравенству удовлетворяет множество значений случайной величины $e_2 \in (- \infty ;y)$ . Кроме того, мы знаем, что $e_2=f(e_1)$. Функция $f$ у нас возрастает, поэтому если подставить $e_2=f(e_1)$ и решить неравенство $f(e_1)<y$, то мы получим $e_1 \in (- \infty ;x)$. А так как $e_2=f(e_1)$, то функция $f $ переводит интервал $(- \infty ;x)$ в интервал $(- \infty ;y)$ и в частности она переводит граничное значение в граничное значение: $y=f(x)$.

Может быть найдем сначала $f$?
Можкт быть что-то конкретно непонятно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group