Магические квадраты

[Pavlovsky]

Понял. Рассмотрим ряд 3214. получлся одномерный стакан:

   4
3  4
32 4
3214

Хотя правее двойки стоит 1, но дальше идет 4. Поэтому в таком стакане удержится 3 единицы воды. 1 (на двойке)+ 2 (на единице).

[Nataly-Mak]

Спасибо! Надо вникнуть в двумерном варианте.

[Pavlovsky]

В этой задаче уже проблема посчитать сколько воды может хранится в заданном МК.

[Nataly-Mak]

Вот там написано, что этот квадрат:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

удерживает 5 л воды (я приняла за единицу 1 литр). Это две клетки берутся: 6 и 7.
Мне не совсем ясно: обязательно ли такие две клетки должны иметь последовательные номера (стоимости, ёмкости)? В этом примере они последовательные. А можно, брать, например, клетки, в которых записаны 1 и 8?

[svb]

Pavlovsky в сообщении #321729 писал(а):

Эта теорема напрямую применима только для порядков не кратных 2,3. Одно из трех чисел $\[a,b,\left( {a^2 - b^2 } \right)\]$ четно. Одно из трех чисел $\[a,b,\left( {a^2 - b^2 } \right)\]$ делится на 3.
Как Россер преобразует примитивные квадраты в пандиагональные для порядков кратных 2,3 никак не могу понять. Что то про это есть в теоремах 5.4, 5.5. Вроде как перед выполнением преобразования надо переставить строки и колонки примитивного квадрата.

Скорее всего не просто переставить, а примитивный квадрат должен быть специальным. Россер доказывает, что каждый d.s. 4-го порядка регулярный, но это не значит, что из каждого примитивного квадрата можно получить пандиагональный квадрат. Возьмем устройство p.s.
$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} a & b & c & d \\ e & * & * & * \\ f & * & * & * \\ g & * & * & * \\ \end{array}} \right]$ $- выбрав любые 7 чисел можно получить примитивный квадрат, но размерность пространства d.s. 4 порядка равна 5, т.е. явно нужны еще 2 ограничения. У Россера я пока не разобрался, но условия эти нашел (они, в общем-то, давно известны): необходимо, чтобы выполнялось
$$a + f = e + g$ $ и $$a + c = b + d$ $
Преобразование, которое работает в этом случае у Россера приведено:$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $
Запустил свою программу поиска по шаблону с учетом необходимых требований, p.s. квадраты посыпались, но с минимальной суммой 14560 примерно такие:

(Оффтоп)

1282 1678 2038 1642
1822 2218 2578 2182
5242 5638 5998 5602
4702 5098 5458 5062

1282 1822 2218 1678
1642 2182 2578 2038
5062 5602 5998 5458
4702 5242 5638 5098

1282 1822 2182 1642
1678 2218 2578 2038
5098 5638 5998 5458
4702 5242 5602 5062

Т.е. из одних и тех же чисел. А вот примеры шаблонов и суммы (половинки магической суммы):

360 540 900 -  7280
360 396 756 -  7280
396 540 936 -  7280
252 648 900 - 22481
216 504 720 - 30563
180 189 369 - 38159
216 468 684 - 45080
 72 252 324 - 45728
144 180 324 - 56600
 36 180 216 - 66248
 27 144 171 - 98000

Пример d.s. для 5-го шаблона:

4765 25294 5485 25582 
10705 20362 9985 20074 
25078 4981 25798 5269 
20578 10489 19858 10201 
S= 61126

Сумму 14560 я проверил тотальным перебором шаблонов без всякой оптимизации, благо количество смитов небольшое, и, если не ошибся, меньшей суммы нет.

[Nataly-Mak]

А что там у Россера по поводу построения пангдиагональных квадратов 8-го порядка сказано?
Я опробовала свой алгоритм. Берём 8 арифметических прогрессий дилины 8 с одинаковой разностью такие, что их первые члены удовлетворяют условиям:

a_1 + a_8 = a_4 + a_5
a_3 + a_6 = a_2 + a_7

Например, такой примитивный квадрат получился из выбранных мной прогрессий:

1 11 21 31 41 51 61 71
2 12 22 32 42 52 62 72
3 13 23 33 43 53 63 73
4 14 24 34 44 54 64 74
5 15 25 35 45 55 65 75
6 16 26 36 46 56 66 76
7 17 27 37 47 57 67 77
8 18 28 38 48 58 68 78

Далее, как я уже говорила, применяю метод, основанный на использовании латинского и классического квадратов. Получаю следующий пандиагональный квадрат:

1 12 23 34 45 56 67 78
66 75 48 57 22 31 4 13
18 7 36 25 54 43 72 61
73 64 51 42 37 28 15 6
24 33 2 11 68 77 46 55
47 58 65 76 3 14 21 32
35 26 17 8 71 62 53 44
52 41 74 63 16 5 38 27

Преобразование готово. Осталось выяснить, как оно будет работать для любого примитивного квадрата. Но примитивного квадрата у меня пока нет. Хотя можно его составить, произвольно выбрав независимые элементы (такой квадрат я составляла для порядка 7). Надо попробовать.
Вполне возможно, что здесь тоже на примитивный квадрат надо накладывать дополнительные условия.

svb
пандиагональные квадраты 7-го порядка из смитов ещё не попробовали строить? А минимальность пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел установили?
Теперь вот нужен примитивный квадрат порядка 8

А что Россер пишет о нетрадиционных пандиагональных квадратах 6-го порядка? Я взяла набор из 36 последовательных простых, из которых существует пандиагональный квадрат 6-го порядка, и у меня почему-то из этого набора примитивный квадрат не составился по программе (может, в программе ошибка вкралась).

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #322209 писал(а):

А что Россер пишет о нетрадиционных пандиагональных квадратах 6-го порядка? Я взяла набор из 36 последовательных простых, из которых существует пандиагональный квадрат 6-го порядка, и у меня почему-то из этого набора примитивный квадрат не составился по программе (может, в программе ошибка вкралась).

Ничего не пишет. В пятой главе он переходит к рассмотрению традиционных пандиагональных МК. А их для 4*m+2 не существует. Так что есть простор для творчества. Уверен что подход Россера можно использовать и для нетрадиционных пандиагональных МК порядков 4*m+2.

[Nataly-Mak]

Состояние дел по обычым МК у нас на сегодня такое: не найден наименьший МК 4-го порядка из последовательных смитов.

По пандиагональным квадратам из простых чисел:

порядок произвольные последовательные
n = 4 S = 240 не найден
n = 5 S = 395 не найден
n = 6 не найден S = 930
n = 7 S = 2477 (?) не найден
n = 8 не найден не найден

Требуется подтвердить минимальность квадрата порядка 7.

По пандиагональным квадратам из чисел Смита:

порядок произвольные последовательные
n = 4 S =14560 не найден
n = 5 S = 8318 не найден
n = 6 не найден не найден
n = 7 не найден не найден
n = 8 не найден не найден

[svb]

Rosser_ru

[Pavlovsky]

svb
Блин даже не знаю как выразить свою благодарность. Огромное спасибо.

[traider]

Всем привет, ребята, очень нужна ваша помощь, может я конечно и не по адресу, но нужно помочь разобраться с этим квадратом.

10 16 20 15

3 20 10 3

18 6 15 12

3 5 6 12

[Mathusic]

Он даже не полумагический.

[Garik2]

Это квадрат абракадабратический. В нем дублируются числа: 3, 6, 12, 15 и 20. Суммы по строкам, по столбцам и главным диагоналям разные. Его можно использовать где угодно, но только не в данной теме.

[Nataly-Mak]

Про соревнование Зиммерманна скажу немного.

Pavlovsky и я сначала участвовали в конкурсе индивидуально, а пару дней назад объединились в команду.

Приглашаю всех желающих присоединиться к нам для командного участия в конкурсе!

Наши результаты на сегодня:

n=4 15
n=5 67
n=6 174
n=7 244
n=8 625
n=9 784
n=10 1827
n=11 1944
n=12 4115
n=13 4235
n=14 8170
n=15 8112
n=16 15014
n=17 11973
n=18 24675
n=19 19973
n=20 30383
n=21 28648
n=22 41302
n=23 47411
n=24 64113
n=25 72141
n=26 81428
n=27 99102
n=28 110097

Персональное приглашение для форумчан: maxal, ice00, 12d3, tolstopuz, General. Конечно, если они не участвуют в конкурсе индивидуально.

Программное обеспечение для обсчёта квадратов сделал svb, так что он автоматически становится членом нашей команды.

Положение команды в таблице соревнования на сегодня:

48 17.124 Oliver Pink Karlsruhe, Germany 28 May 2010 11:21
49 16.557 Jukka Jylänki Oulu, Oulu, Finland 20 Mar 2010 20:53
50 16.174 Natalia Makarova Saratov, Russia 30 May 2010 04:32
51 16.140 Julius Ziegler Karlsruhe, Germany 24 May 2010 14:12
52 15.661 Abhisek Ukil Calcutta, India 28 May 2010 15:01

В конкурсе 142 участника.

Желающие принять участие в соревновании в составе нашей команды, результаты присылайте в ЛС или по адресу: [e-mail]

На форуме Портала ЕН есть тема, посвящённая соревнованию.

[svb]

На первых местах конкурса находятся Hermann Jurksch и Walter Trump. Отталкиваясь от этих имен легко найти некоторые полезные странички http://the-magic-square.blogspot.com/ , а также http://luo-shu.com/book/part_three/outside_contributions. И еще http://www.knechtmagicsquare.paulscomputing.com/Water%20Retention%20of%20Number%20Squares.html.