Связность топологического пространства.

[Padawan]

Топологическое пространство $E$ связно. Выкинем из него точку $x_0$. Пусть $K$ -- одна из компонент связности $E\setminus\{x_0\}$. Надо доказать, что $x_0\in\overline K$ в $E$.

[Хорхе]

А как мы определяем компоненту связности? Максимальное подмножество, связное в индуцированной топологии?

[Padawan]

Да. Оно будет замкнуто в индуцированной топологии.

[id]

А не будет ли (если расписать замыкание как пересечение всех замкнутых, а внутренность как объединение открытых)
$K = Cl_{E \setminus \{x_0\}} K = Cl_{E} K \setminus \{x_0\}$
$K = Int_{E \setminus \{x_0\}} K = Int_{E} K \setminus \{x_0\}$
Если $x_0$ не лежит в $Cl_E K$, то и подавно в $Int$ не лежит, значит, $ K = Cl_{E} K = Int_{E} K$ ?

[Padawan]

id
Со второй строчкой не согласен, $K$ не обязано быть открытым в $E\setminus \{x_0\}$.

[Хорхе]

А если взять $\{1,2,3\}$ с топологией $\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$? Контрпример?

-- Вт май 25, 2010 21:12:11 --

Даже вроде вот это контрпример: $\{1,2\}$ с топологией $\{\varnothing,\{1\},\{1,2\}\}$, $x_0=1$.

(И одноточечное пространство в каком-то смысле тоже контрпример.)

[id]

Хорхе
Разве второй пример подойдет? Должно же быть объединение двух непустых открыто-замкнутых в индуцированной топологии, нет?

[Хорхе]

id в сообщении #323866 писал(а):

Хорхе
Разве второй пример подойдет? Должно же быть объединение двух непустых открыто-замкнутых в индуцированной топологии, нет?

Не понимаю, о чем Вы. $\{2\}$ в индуцированной топологии очень даже связно. И в себе вполне максимально. Значит, является "связной компонентой". И даже замкнуто в исходном пространстве, которое тоже связно. То есть этот пример всему удовлетворяет, кроме гипотезы Padawana.

[Padawan]

А если предположим, что $E$ -- это $T_1$ - пространство?

[id]

Padawan
Не совсем понял Ваше замечание, т.к. считал, что компонента связность - это такое открыто-замкнутое подмножество. Даже не знаю, где тут ошибка.

Не будет ли тогда вторая строчка иметь вид
$K = Int_{E \setminus \{x_0\}} K = Int_{E} \{K \cup \{x_0\}\} \setminus \{x_0\} =Int_{E} \{(K \cup \{x_0\} ) \cap (E\setminus \{x_0\})\}$, последнее равенство использует замкнутость точки и то, что $Int A \cap B = Int A \cap Int B$.
Т.е. $K = Int_E K$, вместе с прошлой (гипотетически верной) строчкой получаем противоречие со связностью $E$?

Хорхе
Прошу прощения, я почему-то решил что $E \setminus x_0$ не связанно.

[Хорхе]

id в сообщении #323889 писал(а):

Не будет ли тогда вторая строчка иметь вид
$K = Int_{E \setminus \{x_0\}} K = Int_{E} \{K \cup \{x_0\}\} \setminus \{x_0\} =Int_{E} \{(K \cup \{x_0\} ) \cap (E\setminus \{x_0\})\}$, последнее равенство использует [...]

Вопрос вызывает не последнее равенство, а первое. Откуда оно?

[id]

Хорхе, Padawan
Так... кажется, понял о чем речь; в случае множества $\mathbb Q$ с индуцированной из $\mathbb R$ топологией компонента точки есть только эта самая точка, и эта компонента не будет открытым множеством.
Ошибся, считая, что компонента непременно открыто-замкнута, признаюсь.

Но для конечного числа компонент связности это будет верным? поэтому, выходит, искать нужный контрпример надо среди пространств, где $E \setminus \{x_0\}$ имеет бесконечное число компонент связности?

[id]

Возникла еще одна идея, контрпримерная:

Будем действовать в $\mathbb R^2$.
Отложим на положительном направлении оси $y$ множество $I_0:=[0,\frac 1 3] \cup [\frac 2 3,1]$; далее пусть $I_n:= $ отрезок $[0,1]$, повернутый вокруг начала координат и образующий с положительным направлением оси $y$ угол, равный $\frac 1 n$ (таким образом, все $I_n, 0 \leqslant n < \infty$ имеют общую точку, начало координат ).

Пусть $E:=\cup\limits_{i=0}^{\infty} I_n$ с топологией, индуцированной из $\mathbb R ^2$. Тогда оно связно, вроде как.

Уберем начало координат и в качестве $K$ возьмем отрезок $[\frac 2 3, 1]$ множества $I_0$, который будет замкнут, и будет своей компонентой связности.

Хм?..

[Padawan]

id
Да, это контрпример, спасибо!

[Хорхе]

А я, честно говоря, не понял, почему $[2/3,1]$ -- связная компонента. Ведь $E\setminus \{0\}$ связно, не правда ли?