Делимость на 11.

[Бодигрим]

Я не понял, что вы сделали. Как у вас получилось $3^10=3^10-1$, $4^10=4^10-1$, $5^10=5^10-1$?

Предлагаю оставить все эти фокусы с теоремой Ферма и посчитать как в шестом классе.

[Marina]

А может методом математической индукции:
1) "база индукции": при $n=0$ $5+16+1=22$, которое делится на 11.
2) Предположим $n=k$ т.е. $5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$ делится на 11.
А дальше нужно доказать ("шаг индукции"), что при $n=k+1$ т.е. $5^{5k+6}+4^{5k+7}+3^{5k+5}$ делится на 11.
Но у меня пока и с этим не очень получается...

[Marina]

Вот, что я думаю:
Т.к. $5^5\equiv 4^5\equiv 3^5 \equiv 1(mod 11)$, а $5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$ делится на 11 по предположению математической индукции.
Значит исходное выражение делится на 11?
Поправьте, если я ошибаюсь?

[maikle]

Предлагаю изучить "сравнения по модулю" и "квадратичные вычеты", а также малую т. Ферма.

[Marina]

$5^5\equiv 4^5\equiv 3^5 \equiv 1(mod 11)$

$3+33=6^2$
$4+77=9^2$
$5+44=7^2$
Значит 3,4 и 5 вычеты. Тогда:

$3\equiv 6^2 (mod 11)$
$4\equiv 9^2 (mod 11)$
$5\equiv 7^2 (mod 11)$

[Sasha2]

Пероре слагамое в Вашем выражении при делении на 11 дает в остатке 5, второе - 16, и третье 1.
В этом можно убедиться вручную разделив числа $5^5$, $4^5$ и $3^5$ на 11.
Сумма этих остатклв равна 22 (что на 11 делится).
Ну и чтобы завершить элементарное доказательство, чудный бином Ньютона Вам в помощь, который и сделает всю работу за малую теорему Ферма.

[Marina]

А может всё таки поможите через малую теорему Ферма.

[TOTAL]

Marina в сообщении #323527 писал(а):

А может всё таки поможите через малую теорему Ферма.

Вот с помощью малой теоремы Ферма (по $\mod 11$)

$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}=5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

[Marina]

СПАСИБО!!! TOTAL
Но не поняла 5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

[TOTAL]

Marina в сообщении #323662 писал(а):

Но не поняла 5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

$7^{10}=2^{10}=5^{10}=1 \mod 11$ - так это же как раз по малой теореме Ферма

[Marina]

TOTAL
$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}$

А куда исчезли после раскрытия скобок: $ 22^{5n}$ и $5\cdot 44^{5n}$? Или $22^{5n}\equiv 44^{5n} \equiv 0 (mod 11)$?

[TOTAL]

Marina в сообщении #323681 писал(а):

TOTAL
$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}$

А куда исчезли после раскрытия скобок: $ 22^{5n}$ и $5\cdot 44^{5n}$ не понятно. Да они делятся на 11, но...

Здесь равенства с точностью до слагаемых, делящихся на $11.$ То есть запись $5\cdot (7^2-44)^{5n}=5\cdot (7^2)^{5n}$ означает, что разность $5\cdot (7^2-44)^{5n}-5\cdot (7^2)^{5n}$ делится на $11$

[Marina]

TOTAL
Скажите, пожалуйста, в каком учебнике эта тема изложена доступно с разбором примеров.

[TOTAL]

Marina в сообщении #323697 писал(а):

TOTAL
Скажите, пожалуйста, в каком учебнике эта тема изложена доступно с разбором примеров.

К сожалению, я не знаю учебника.