2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение23.05.2010, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Я не понял, что вы сделали. Как у вас получилось $3^10=3^10-1$, $4^10=4^10-1$, $5^10=5^10-1$?

Предлагаю оставить все эти фокусы с теоремой Ферма и посчитать как в шестом классе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение23.05.2010, 18:38 


08/12/09
475
А может методом математической индукции:
1) "база индукции": при $n=0$ $5+16+1=22$, которое делится на 11.
2) Предположим $n=k$ т.е. $5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$ делится на 11.
А дальше нужно доказать ("шаг индукции"), что при $n=k+1$ т.е. $5^{5k+6}+4^{5k+7}+3^{5k+5}$ делится на 11.
Но у меня пока и с этим не очень получается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение23.05.2010, 22:02 


08/12/09
475
Вот, что я думаю:
Т.к. $5^5\equiv 4^5\equiv 3^5 \equiv 1(mod 11)$, а $5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$ делится на 11 по предположению математической индукции.
Значит исходное выражение делится на 11?
Поправьте, если я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение24.05.2010, 15:08 


08/03/10
120
Предлагаю изучить "сравнения по модулю" и "квадратичные вычеты", а также малую т. Ферма. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение24.05.2010, 15:30 


08/12/09
475
$5^5\equiv 4^5\equiv 3^5 \equiv 1(mod 11)$

$3+33=6^2$
$4+77=9^2$
$5+44=7^2$
Значит 3,4 и 5 вычеты. Тогда:

$3\equiv 6^2 (mod 11)$
$4\equiv 9^2 (mod 11)$
$5\equiv 7^2 (mod 11)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение24.05.2010, 16:48 


21/06/06
1721
Пероре слагамое в Вашем выражении при делении на 11 дает в остатке 5, второе - 16, и третье 1.
В этом можно убедиться вручную разделив числа $5^5$, $4^5$ и $3^5$ на 11.
Сумма этих остатклв равна 22 (что на 11 делится).
Ну и чтобы завершить элементарное доказательство, чудный бином Ньютона Вам в помощь, который и сделает всю работу за малую теорему Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение24.05.2010, 19:20 


08/12/09
475
А может всё таки поможите через малую теорему Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 06:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Marina в сообщении #323527 писал(а):
А может всё таки поможите через малую теорему Ферма.

Вот с помощью малой теоремы Ферма (по $\mod 11$)

$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}=5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 07:49 


08/12/09
475
СПАСИБО!!! TOTAL
Но не поняла 5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Marina в сообщении #323662 писал(а):
Но не поняла 5\cdot 7^{10n}+16 \cdot 2^{10n}+5^{10n}=5+16+1=0$

$7^{10}=2^{10}=5^{10}=1 \mod 11$ - так это же как раз по малой теореме Ферма

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 09:24 


08/12/09
475
TOTAL
$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}$

А куда исчезли после раскрытия скобок: $ 22^{5n}$ и $5\cdot 44^{5n}$? Или $22^{5n}\equiv 44^{5n} \equiv 0 (mod 11)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Marina в сообщении #323681 писал(а):
TOTAL
$5\cdot (7^2-44)^{5n}+2^{10n+4}+(5^2-22)^{5n}$

А куда исчезли после раскрытия скобок: $ 22^{5n}$ и $5\cdot 44^{5n}$ не понятно. Да они делятся на 11, но...


Здесь равенства с точностью до слагаемых, делящихся на $11.$ То есть запись $5\cdot (7^2-44)^{5n}=5\cdot (7^2)^{5n}$ означает, что разность $5\cdot (7^2-44)^{5n}-5\cdot (7^2)^{5n}$ делится на $11$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 09:55 


08/12/09
475
TOTAL
Скажите, пожалуйста, в каком учебнике эта тема изложена доступно с разбором примеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на 11.
Сообщение25.05.2010, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
Marina в сообщении #323697 писал(а):
TOTAL
Скажите, пожалуйста, в каком учебнике эта тема изложена доступно с разбором примеров.
К сожалению, я не знаю учебника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group