Локальные экстремумы

[Genrih]

Дана непрерывная функция $f(x)$ на интервале $[a,b]$ такая, что каждая точка интервала - точка локального екстремума функции.
Доказать, что $f(x)\equiv c$

[Юстас]

удалено автором

[PAV]

Юстас

Вы случайно отправили последнее сообщение дважды, причем во втором были TeXнические ошибки в формулах. Лишее сообщение удалено.

Маленький совет: некоторые математические операции (например, min, max, sup, inf, ln, exp, lim) можно (и нужно) набирать как команды (\min и т.п.)
Тогда они печатаются прямым шрифтом и выглядят лучше, а также пробелы ставятся лучше.
Сравните, например $M = max f(x)$ и $M=\max f(x)$.

[worm2]

Юстас писал(а):

Пусть $M=max f(x),\ m=min f(x),\ M>m,\ b\in(m,\ M)$. Пусть далее $x_0=sup\{x|f(x)=b\}$. Тогда возможны 2 варианта: $f(x_0+\varepsilon)<b,\ f(x_0-\varepsilon)\geqslant b$, либо $f(x_0+\varepsilon)>b,\ f(x_0-\varepsilon)\leqslant b$. В обоих случаях $x_0$, очевидно, не локальный экстремум.

Извините, до меня не доходит.

В каких местах здесь используется непрерывность функции? Я нашёл только в одном - функция непрерывна, значит у неё существуют минимум и максимум. А давайте построим контрпример для случая, когда функция не является непрерывной.

Пусть [a,b] = [0,1], $f(x) = 2^{-k}$, если $2^{-k-1} < x \leqslant 2^{-k}$, k = 0, 1, ... ; f(0) = 0. Это получается такая лесенка: от 1/2 (не включая 1/2) до 1 функция равна 1, от 1/4 (исключительно) до 1/2 (включительно) - 1/2, от 1/8 (исключительно) до 1/4 (включительно) - 1/4 и т.д, а в нуле равна 0.

Каждая точка является точкой локального минимума:
1) в точках $x = 2^{-k}$ нужно взять $\varepsilon = 2^{-k-1}$, тогда при $x-\varepsilon < y < x$ будет $f(y) = f(x)$, а при $x < y < x+\varepsilon$ будет $f(y) > f(x)$;
2) в точках $2^{-k-1} < x < 2^{-k}$ нужно взять $\varepsilon=\min \{x-2^{-k-1},2^{-k}-x\}$, тогда в этой $\varepsilon$-окрестности $f(y) = f(x)$;
3) в нуле 0 = f(0) < f(y), где y > 0.

Т.е. условие непрерывности существенно, без него можно построить контрпример.

Функция f также достигает своих минимума (0) и максимума (1) на отрезке [0,1]. Применим к ней Ваши рассуждения. Возьмём $b=1/2$. $x_0=\sup\{x|f(x)=1/2\}$=1/2. Далее, действительно, $f(1/2+\varepsilon)=1>1/2$, $f(1/2-\varepsilon) \leqslant 1/2$. Ну и что? Всё равно $x_0$ - точка локального минимума.

[Юстас]

Да, после повторного прочтения собственной писанины и я тоже удивился. Конечно же там все неверно.

[Руст]

Пусть f(c)=m минимальное значение и f(d)=M максимальное значение. Тогда в интервале [c,d] функция $g(x)=f(x)-(x-c)\frac{M-m}{d-c}$ имеет экстремальное значение z, что противоречит с экстремальностью z для функции f(x) если m и M не равны.

[Brukvalub]

Откровенно говоря, мне тоже непонятно рассуждение Юстаса, хотя я подозреваю, что он как-то использовал теорему о промежуточных значениях непрерывной функции. Поэтому предлагаю рассмотреть стандартную схему решения этой задачи:
1. Докажите, что можно рассматривать только функции, все точки области определения которых- точки максимума.
2.фиксируйте положительное $\delta $и докажите, что данная функция локально постоянна на множествах
$K_\delta = \left\{ {x \in [a\;;\;b]\left| {f(t) \le f(x)\;,\;\left| {x - y} \right|} \right.} \right. < \delta \left. {} \right\}$
3.Пользуясь стандартными теоремами о покрытиях ( или по-другому), докажите, что непрерывная локально постоянная функция может принимать не более счетного множества значений, что противоречит теореме Коши о промежуточных значениях, если она не постоянна.

[Руст]

Вообще то моё рассуждение так же не годное. Поэтому предлагаю другое решение. Каждое экстремальное значение является экстремальным в некотором интервале. Поэтому множество экстремальных значений не более чем счётно. Однако непрерывная функция принимает все значения в промежутке от минимального до максимального. Поэтому, если они не совпадают из условия получается континиум экстремальных значений.

[Юстас]

Руст писал(а):

Вообще то моё рассуждение так же не годное. Поэтому предлагаю другое решение. Каждое экстремальное значение является экстремальным в некотором интервале. Поэтому множество экстремальных значений не более чем счётно. Однако непрерывная функция принимает все значения в промежутке от минимального до максимального. Поэтому, если они не совпадают из условия получается континиум экстремальных значений.

А что мешает быть множеством экстремумов, например, дискретному континуальному множеству кантора?

[Руст]

Юстас писал(а):

А что мешает быть множеством экстремумов, например, дискретному континуальному множеству кантора?

Проекция точек экстремума на ось х у непрерывной функции может быть почти любым множеством (как весь интервал, так и канторово множество), однако множество экстремальных значений (проекция на у) не более, чем счётное.

[Genrih]

Да, у меня поначалу тоже возникал такой же вопрос.

Идеи Юстаса и Brukvalub тоже верны. Используюя две основные теоремы: о промежуточных значениях непрерывной функции и Кантора о вложеных отрезках.

[worm2]

Руст писал(а):

Каждое экстремальное значение является экстремальным в некотором интервале. Поэтому множество экстремальных значений не более чем счётно.

Что-то я опять не въезжаю. Это рассуждение верно, если интервалы не пересекаются. А то, что они не пересекаются, по-моему, не очевидно.

Можно даже, используя тот факт, что [a,b] - компакт, доказать, что существует конечное множество точек, интервалы экстремальности которых покрывают весь отрезок. Но как этот факт использовать в доказательстве, мне не понятно...

[Руст]

Опять таки речь идёт о значениях (т.е. о проекции на у).
Что касается о проекции на х, то взяв любое замкнутое множество А и функцию f(x)=r(x,A) расстояние до А, получим, что А является множеством точек, где достигается минимум, в частности А может быть Канторовым множеством.

[Genrih]

worm2 писал(а):

Можно даже, используя тот факт, что [a,b] - компакт, доказать, что существует конечное множество точек, интервалы экстремальности которых покрывают весь отрезок. Но как этот факт использовать в доказательстве, мне не понятно...

Eто и есть ключ к "множество экстремальных значений не более чем счётно"

[worm2]

Да, я понял свою ошибку.
Теперь не понимаю утверждения:

Цитата:

Каждое экстремальное значение является экстремальным в некотором интервале

То есть, если m - локальный экстремум функции, то существует некоторый интервал, во всех точках которого f(x) = m? Мне непонятно, как это утверждение доказать.

Или так: если m - экстремальное значение, существует открытый интервал O, который при отображении f переходит (на оси y) либо (1) во множество {m} (состоящее из одной точки), либо (2) в полуоткрытый интервал (y,m] или [m,z), одним из концов которого является m. Это мне понятно.
Потом можно показать, что если существует точка, в которой f(x) <> m (т.е. утверждение задачи неверно), то случай (1) можно свести к случаю (2) путём расширения интервала O.
Итак, в результате получаем, что область значений функции является объединением полуоткрытых интервалов вида (y,m] или [m,z). Но эти полуинтервалы вполне могут друг с другом пересекаться. И почему их число не более чем счётно?