Электродинамика: задача Фейнмана

[Аурелиано Буэндиа]

Тема посвящается создателю альтернативной электродинамики Зиновию.

Задача Фейнмана: Представим прибор, в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, укрепленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток. Вблизи края диска по окружности (радиуса $r$) на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики с массой $m$. Каждый шарик заряжен одинаковым зарядом $q$. Пусть индукция магнитного поля вблизи шариков равна $B$, а векторный потенциал равен $A$. Вся картина стационарна, и диск неподвижен.

Предположим, что ток в соленоиде прекратился, без вмешательства извне. Параллельно оси диска проходил магнитный поток. Поскольку ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики будут все испытывать действие электрического поля. Электрическая сила будет направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вращающий момент. Поэтому можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Найти угловую скорость каждого шарика. Массой катушки и пласмассового диска пренебречь.

Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сохранения момента импульса, можно сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет?

[Igor Borovikov]

Цитата:

что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю

Это Вы имеете ввиду механический момент, а не момент системы как целого. Поэтому вращение может возникнуть, не нарушая никаких законов сохранения. Навскидку же, диск и шарики начнут вращаться в противоположные стороны, компенсируя момент.

[Аурелиано Буэндиа]

Igor Borovikov писал(а):

Это Вы имеете ввиду механический момент, а не момент системы как целого. Поэтому вращение может возникнуть, не нарушая никаких законов сохранения. Навскидку же, диск и шарики начнут вращаться в противоположные стороны, компенсируя момент.

Вообще-то это все придумал Фейнман, а не я. Условие задачи взято из книги Фейнмана на стр. 59. Сразу скажу, что решения там нет. Шарики прилеплены к диску намертво и могут двигаться только с диском.

[Igor Borovikov]

Цитата:

Шарики прилеплены к диску намертво и могут двигаться только с диском.

А! Сразу и не понял. Ну, все равно, вращение возникнуть может, а раз шарики закреплены - то и должно. Иначе, из той же логике с сохранением только механического момента следует, что никакой электрический двигатель не возможен.

ЗЫ. А разве нет в природе решебника к курсу Фейнмана?

[Аурелиано Буэндиа]

Igor Borovikov писал(а):

Иначе, из той же логике с сохранением только механического момента следует, что никакой электрический двигатель не возможен.

Я думаю, что поскольку эта задача учебная, то она должна иметь простое и максимально ясное решение на основе законов физики.

Igor Borovikov писал(а):

ЗЫ. А разве нет в природе решебника к курсу Фейнмана?

В природе не знаю. Я такого решебника не видел. Но, на мой взгляд, в этом то и весь интерес, что решение нельзя нигде прочитать. Его можно только придумать.

[Dolopihtis]

Мне кажется , здесь можно рассуждать так. В силу $B = rot A$ полный поток магитного поля через круг, ограниченный шариками есть $A * 2\pi r$. Далее , в силу, $rot E = \frac{dB}{dt}$ имеем $ 2\pi r *\int{Edt} = A * 2\pi r$.(Т.к. магнитный поток падает до нуля).Домножая все это на$q$ и деля на $m$ получаем скорость шарика $Aq/m$.
Может чего-нибудь напутал , но думаю схема рассуждений должна быть такой.

[Аурелиано Буэндиа]

Dolopihtis писал(а):

Мне кажется , здесь можно рассуждать так. В силу $B = rot A$ полный поток магитного поля через круг, ограниченный шариками есть $A * 2\pi r$. Далее , в силу, $rot E = \frac{dB}{dt}$ имеем $ 2\pi r *\int{Edt} = A * 2\pi r$.(Т.к. магнитный поток падает до нуля).Домножая все это на$q$ и деля на $m$ получаем скорость шарика $Aq/m$.
Может чего-нибудь напутал , но думаю схема рассуждений должна быть такой.

Понятно. У меня ответ тот же. Вот мое решение:
Я рассмотрел 2-ой закон Ньютона для каждого шарика, т.е.

$$ \frac{d\vec{p}}{dt}=q\vec{E}+\sum \vec{F} $$

где $\sum \vec{F}$ - сумма силы Лоренца, упругих сил со стороны дика.
Поскольку шарики могут только вращаться, то $\sum \vec{F}=0$. Учитывая, что $\vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ можно записать

$$ \frac{d}{dt} (\vec{p}+q\vec{A})=0 $$

Т.е. обобщенный импульс сохраняется, а $\vec{p}$ может не сохраняться. Векторные линии $\vec{A}$ представляют собой окружности. Если магнитное поле уменьшить до нуля, то $A\to 0$ ($A$ всегда можно выбрать так, что в отсутствие магнитного поля получался ноль). Значит, механический импульс после выключения поля будет равен $\vec{p}=q\vec{A}$.

Кстати, из этого следует, что сохраняется не механический момент, а обобобщенный момент, т.е. $[\vec{r}\times (\vec{p}+q\vec{A})]$

[Dolopihtis]

Замечу еще, что эти формулы справедливы, только при определенном выборе калибровки, а именно, когда векторный потенциал направлен по касательной и постоянен по модулю вдоль всей окружности.

[Someone]

А ничего, что вращающийся диск с зарядами будет создвать магнитное поле, так что оно, в действительности, падает не до нуля?

[Dolopihtis]

Someone писал(а):

А ничего, что вращающийся диск с зарядами будет создвать магнитное поле, так что оно, в действительности, падает не до нуля?

Я думаю, что здесь предполагается, что разрыв цепи происходит очень быстро,практически мгновенно , и магнитное поле падает до нуля тоже мгновенно,тогда как шарики обладают все-таки некоторой инерционностью. Конечно , если учитывать все детали , то надо учесть ,что катушка обладает некоторой электроемкостью, т.е. ток в ней будет течь даже после разрыва цепи какое - то время . За это время диск тоже успеет начать вращаться. Точный учет этих эффектов существенно усложнит решение задачи.

[Someone]

Dolopihtis писал(а):

Someone писал(а):

А ничего, что вращающийся диск с зарядами будет создвать магнитное поле, так что оно, в действительности, падает не до нуля?

Я думаю, что здесь предполагается, что разрыв цепи происходит очень быстро,практически мгновенно , тогда как шарики обладают все-таки некоторй инерционностью.

Это неважно. Мы же не рассчитываем процесс, а только сравниваем начальное и конечное состояния. А в конечном состоянии магнитное поле не равно нулю из-за движения зарядов. Кроме того, часть момента импульса может унести излучение, но это, боюсь, уже слишком сложно.

[Dolopihtis]

Someone писал(а):

Это неважно. Мы же не рассчитываем процесс, а только сравниваем начальное и конечное состояния.

Не совсем так.Я рассуждал следующим образом.
1. Есть ток в катушке и магнитное поле . Диск неподвижен.
2. Тока в катушке нет . Диск неподвижен.Есть вихревое электрическое поле, определямое через $\int{Edt} = A $, которое действует в течении очень короткого интервала времени.
3.Под действием этого поля шарики начинают двигаться со скоростью $Aq/m$
4.Возникает магнитное поле, создавемое вращением диска.

Другими словами, в этом приближении диск считается неподвижным в течении всего времени, за которое магнитное поле уменьшается до нуля.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

А ничего, что вращающийся диск с зарядами будет создвать магнитное поле, так что оно, в действительности, падает не до нуля?

Если рассуждать строго, то Someone прав. Вообще, насколько я понимаю, учет собственного поля шариков сведется к малым поправкам. Для примера, я рассмотрю только 2-а шарика расположенные в диаметрально противоположных точках. Тогда если шарики вращаются со скоростью $v$, то первый шарик в окрестности другого будет создавать векторный потенциал

$$ \vec{A}'=\frac{\vec{v}}{c^2}\phi=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q\vec{v}}{2rc^2} $$

Поскольку шарики начинают двигаться в том же направлении куда был направлен векторный потенциал исходного поля катушки, то добавочное поле $\vec{A}'$ будет направлено против поля катушки $\vec{A}$. Поэтому можно записать

$$ \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial}{\partial t} q(A-A') $$

Поэтому, я думаю, что будет сохраняться величина

$$ mv+qA-\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2r}\frac{v}{c^2} $$

другими словами, за счет самодействия эффективная масса шарика уменьшается, т.е.

$$ m'= m-\frac{U}{c^2}, $$

где $U$ - энергия взаимодействия шариков. В общем случае, думаю, позникнет безразмерный множитель перед $U$

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сохранения момента импульса, можно сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет?

Электромагнитное поле также является частью системы и в нашем случае в начальный момент имеет момент импульса, который при исчезновении магнитной составляющей очевидно исчезнет. Плотность импульса электромагнитного поля насколько я помню (ExH)/c^2. Из визуального анализа силовых линий нашей системы видно (особенно если шарики расположить поближе к катушке), что векторное поле плотности импульса будет иметь доминирующую ориентацию в одном направлении вокруг оси диска, давая в сумме момент импульса. Так что предложенное Аурелиано провокационное "рассуждение по-другому" не верно.

Кстати, реальные ускорители электронов, бетатроны, работают по тому же принципу что и наша установка, разгоняя электроны до околосветовых скоростей. Магнитное поле катушки там не только разгоняет электроны, но и удерживает их при этом на круговой орбите, беря на себя функцию нашего пластикового диска. Там катушка неподвижна, но принцип тот же.

У меня еще одна не менее интересная задачка на эту же тему:

Имеем шар радиуса R с равномерно распределенным внутри него зарядом Q. Элементарные (бесконечно малые) зарядики, образующие этот распределенный заряд, жестко механически связаны между собой. Шар помещен во внешнее равномерное постоянное электрическое поле напряженностью Eo (например, между очень большими пластинами конденсатора, расположенными от шара на расстоянии гораздо больше R). В момент t=0 шар неподвижен. Найти ускорение шара в окрестности момента времени t=0. И самое интересное: массой "зарядиков" и механических связей между ними пренебречь.

Будет ли это ускорение бесконечным при конечных значениях R,Q,Eo ?

Добавлю еще:

Для упрощения можно считать что R настолько мал, сто электромагнитное поле распространяется в пределах шарика гораздо быстрее чем шарик ускоряется до релятивистских скоростей.

Распределение заряда в шарике можно выбрать отличное от равномерного объемного если это удобней для математических выкладок, например можно рассмартивать равномерное распределение заряда на поверхности шарика. Важно чтобы конечный заряд не сосредотачивался в бесконечно малом объеме, иначе это будет равносильно бесконечно малому R.

Суть фокуса в том что ускоряющийся шарик будет создавать внутри себя тормозящее электрическое поле, которое будет компенсировать внешнее поле при определенном значении ускорения. Таким образом поведение шарика дает основание говорить об электромагнитной сущности явления инерции. Масса инерции в этом случае является функцией от R,Q. Причем характер зависимости m(R,Q) по прикидочным расчетам получается такой же как и у Е(R,Q) (энергия электрического поля шарика), давая как следствие нечто вроде известного E=mc^2.

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

Плотность импульса электромагнитного поля насколько я помню (ExH)/c^2. Из визуального анализа силовых линий нашей системы видно (особенно если шарики расположить поближе к катушке), что векторное поле плотности импульса будет иметь доминирующую ориентацию в одном направлении вокруг оси диска, давая в сумме момент импульса. Так что предложенное Аурелиано провокационное "рассуждение по-другому" не верно.

Ну, разумеется, я знаю про импульс э.-м. поля. Но то, что Вы привели не является решением задачи Фейнмана, хотя многое из того что Вы сказали имеет смысл. Приведите, пожалуйста, свой расчет (я свой привел), тогда нам будет ясно насколько глубока Ваша мысль.

P.S. Те строки, которые Вы назвали "провокацией" принадлежат не мне, а Фейнману. Поэтому, перед тем как что-нибудь отвечать, желательно прочитать сообщения в теме.