Электродинамика: задача Фейнмана

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну, разумеется, я знаю про импульс э.-м. поля. Но то, что Вы привели не является решением задачи Фейнмана, хотя многое из того что Вы сказали имеет смысл. Приведите, пожалуйста, свой расчет (я свой привел), тогда нам будет ясно насколько глубока Ваша мысль.

P.S. Те строки, которые Вы назвали "провокацией" принадлежат не мне, а Фейнману. Поэтому, перед тем как что-нибудь отвечать, желательно прочитать сообщения в теме.

Что ж вы так агрессивно реагируете? Провокационным указанное рассуждение является в самом хорошем смысле слова, независимо от того кому принадлежит его авторство. Тему я прочитал внимательно, но думал что хотя-бы последний абзац своего первого сообщения вы написали сами.

Там в частности был конкретный вопрос: "Какое из доказательств правильно?" и я думаю что дал на этот вопрос обоснованный ответ, какого я до этого в теме не видел.

Ну раз последний абзац тоже принадлежит Фейнману, то мое мнение таково:

Предполагалось, что уловивший суть задачи не воспримет фразу "Найти угловую скорость каждого шарика" буквально как "расcчитать численное значение (или вывести формулу для расчета) угловой скорости каждого шарика"

Почему я так считаю?

1. Главный вопрос задачи обычно ставится в конце условия задачи, и это был вопрос
"Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? " Промежуточные вопросы бывают риторическими для пояснения условия задачи.

2. Для расчета численного значения необходимо больше исходных данных чем указано в задаче. Вы конечно можете сами по ходу дела придумать недостающие условия (чем вы тут и занимаетесь), но это уже будет не задача Фейнмана, а ваша задача.

3. Ясность постановки задачи мог дополнительно исказить переводчик, который врядли глубоко вникал в суть каждой задачи.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Вообще, насколько я понимаю, учет собственного поля шариков сведется к малым поправкам.

А обоснование будет?

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

Там в частности был конкретный вопрос: "Какое из доказательств правильно?" и я думаю что дал на этот вопрос обоснованный ответ, какого я до этого в теме не видел.

Никакой агрессии. Просто, несмотря на то, что само направление Вашей мысли мне было понятно, я попросил Вас изложить детали Вашего доказательства более подробно и представить их в математической форме. Т.е. на основании, например, закона сохранения ... который написан в книге ... на странице ... следует ... только и всего. Это нормально для этого форума. Если бы Вы задали мне такие вопросы относительно моего решения, то я бы Вам ответил. Я понимаю, что достаточность доказательства у всех разная. У меня, например, Ваше доказательство вызывает сразу кучу параллельных вопросов. Например, почему этот момент импульса не теряется полностью на излучение или еще на что-нибудь? Какая часть момента передается шарикам? Как вычислить скорость шариков? Ну и т.д. сама идея интересная, но ответы на эти вопросы в рамках Вашей фразы становятся неочевидными (для меня). Может быть все-таки проясните ситуацию?

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

А обоснование будет?

Так было уже. То что я под этим подразумевал я написал в том же сообщении только ниже. Или уточните свой вопрос. Убедительная просьба: не дописывать старые сообщения, если только они не идут с интервалом в несколько минут. Иначе очень тяжело уследить за Вашими ответами.

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Lexey писал(а):

А обоснование будет?

Так было уже. То что я под этим подразумевал я написал в том же сообщении только ниже. Или уточните свой вопрос.

Извините, я так и не понял где там было обоснование.

Ну если пренебрегать всякими "побочными" эффектами, то решение очень простое

Сила лоренца (тангенциальная составляющая):

$$ \frac{dp}{dt}=qE $$

Закон э.м. индукции в интегральной форме:

$$ \int{Edl}=\frac{d\Phi}{dt} $$

(извините, не помню как на латехе интеграл по контуру)
отсюда при нашей геометрии

$$ E=\frac{1}{2\pi r} \frac{d\Phi}{dt} $$

Собрав усе шо выше до кучи получаем:

$$ p=\frac{q}{2\pi r} \Phi $$

где $\Phi $ -- изменение магнитного потока через кольцо шариков при прекращении тока в катушке.

Для начала рекомендую рассматривать случай бесконечного множества шариков, так будет проще, а потом уже если надо перходить к более сложному случаю с заданным конечным числом шариков.

Дальше можем найти выражение для потока, создаваемого самими шариками, и решив соответствующую систему уравнений получить решение с учетом магнитного поля, создаваемого шариками. Это уже дело техники, я тут дальше не стану сильно распинаться.

Дальше можно подумать о моменте импульса носителей заряда в катушке (она ведь закреплена на диске? или нет? )

Дальше можно рассмотреть возможные релятивистские эффекты.

Дальше квантовые и.т.д.и.т.п.

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

Извините, я так и не понял где там было обоснование.

Ну, давайте я поясню. Someone высказал замечание, что дескать после того, как магнитное поле катушки обратится в ноль и шарики начнут вращаться, возникнет магнитное поле шариков, которое будет действовать на них самих же.
Строго говоря он прав и это поле тоже нужно учитывать. Я высказал предположение, что учет влияния этого поля эквивалентен введению поправки к массе шариков и вычислил эту поправку.
Но лучше Вы конкретно спросите, что Вам там непонятно...

Ваша задача, кстати говоря, также подробно рассматривалась Фейнманом и К$^0$.

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Lexey писал(а):

Извините, я так и не понял где там было обоснование.

Ну, давайте я поясню. Someone высказал замечание, что дескать после того, как магнитное поле катушки обратится в ноль и шарики начнут вращаться, возникнет магнитное поле шариков, которое будет действовать на них самих же.
Строго говоря он прав и это поле тоже нужно учитывать. Я высказал предположение, что учет влияния этого поля эквивалентен введению поправки к массе шариков и вычислил эту поправку.
Но лучше Вы конкретно спросите, что Вам там непонятно...

Предположение непонятно откуда взятое и никаких убедительных аргументов в защиту этого предположения не вижу. Явление это следует из классических законов электромагнетизма, релятивизм тут не причем, поэтому поправку массы тут притягивать за уши не стоит. А если очень хочется поупражняться, то сначала решите задачу классически, а потом сравните и посмотрите насколько правильно вы притянули за уши эту поправку массы.

Другими словами вам нужно было сначала узнать у Someone на каких физических законах основано его замечание, и затем основываясь именно на эти законы учитывать это замечание. Тогда было бы понятно.

Проводя любые нетривиальные или неочевидные математические выкладки нужно обосновывать (словесно) их уместность и справедливость в конкретном контексте, или хотя-бы писать "ну извините, тут вы должны поверить мне на слово, полагаясь на мою интуицию и авторитет".

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ваша задача, кстати говоря, также подробно рассматривалась Фейнманом и К$^0$.

А где об этом почитать? (желательно бесплатно)

[Someone]

Lexey писал(а):

Другими словами вам нужно было сначала узнать у Someone на каких физических законах основано его замечание, и затем основываясь именно на эти законы учитывать это замечание. Тогда было бы понятно.

Как "на каких"? Движение электрических зарядов (заряженных шариков) - это электрический ток, а он создаёт магнитное поле.

[Lexey]

Someone писал(а):

Lexey писал(а):

Другими словами вам нужно было сначала узнать у Someone на каких физических законах основано его замечание, и затем основываясь именно на эти законы учитывать это замечание. Тогда было бы понятно.

Как "на каких"? Движение электрических зарядов (заряженных шариков) - это электрический ток, а он создаёт магнитное поле.

Ну вот, все оказывается так просто:

$\Phi_2=LI$ --- Поток от шариков

$L=\mu_0 l=2\pi r\mu_0$ --- Индуктивность тонкого витка из шариков

$I=v\frac{q}{l}=v\frac{q}{2\pi r}= $ --- Ток создаваемый движущимися шариками

Cобирая до кучи имеем первое уравнение системы:

$$ \Phi_2=\mu_0 q v $$

Берем ранее выведенное мной выражения для импульса, приводим его к скорости, расписываем разность потоков и получаем второе уравнение системы:

$$ v=\frac{q}{2\pi r m} (\Phi_1-\Phi_2) $$

Решаем систему и получаем

$$ v=\frac{q\Phi_1}{2\pi r m + q^2\mu_0} $$

Тут $q^2\mu_0$ -- та самая поправка на замечание Someone, которую пытался сделать Аурелиано.

Остается понять почему в условии фигурирует векторный потенциал и как из него получить магнитный поток (ненавижу векторные потенциалы и всегда успешно обходился без них)

для тех кто сам не догадаля замечу что тут у меня $q$ и $m$ --- общий заряд и масса всех шариков, и формула является точной только при достаточно большом количестве шариков.

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

$$ v=\frac{q}{2\pi r m} (\Phi_1-\Phi_2) $$

Решаем систему и получаем

$$ v=\frac{q\Phi_1}{2\pi r m + q^2\mu_0} $$

Тут $q^2\mu_0$ -- та самая поправка на замечание
Someone, которую пытался сделать Аурелиано.

Остается понять почему в условии фигурирует векторный потенциал и
как из него получить магнитный поток (ненавижу векторные потенциалы
и всегда успешно обходился без них)

В целом мне нравится ход Вашего решения. Я не знаю почему Вы не
любите векторный потенциал. Это очень простая и удобная величина,
хотя его использование (или неиспользование) это дело вкуса. Кроме
того, мне кажется, Вы немного лукавите, когда говорите, что всегда
успешно обходились без векторных потенциалов. Например, в данном
варианте решения у Вас имеется ошибка.

Объясню подробно, используя Ваши обозначения. Записываем

$$ \oint (\vec{E},d\vec{l})=-\frac{d\Phi}{dt} $$

$$ \Phi=\Phi_1+\Phi_2 $$

Выберем так направление вектора $d\vec{s}$, чтобы поток магнитного
поля катушки был больше нуля. Поток катушки $\Phi_1$ уменьшается,
что вызывает движение шариков. Магнитное поле шариков создает поток
$\Phi_2$, который препятствует уменьшению потока $\Phi_1$.
Следовательно, поток $\Phi_2>0$ и нарастает (пропорционально
скорости $v$). Далее подставляя Ваше выражение для $\Phi_2=\mu_0 q v$
у Вас должно было бы получиться получится

$$ v=\frac{q\Phi_1}{2\pi r m - q^2\mu_0} $$

с учетом того, что

$$ \mu_0=\frac{1}{c^2\varepsilon_0} $$

$$ \Phi_1=2\pi r A $$

получаем

$$ v=\frac{q\Phi_1}{2\pi r (m-\frac{q^2}{2\pi \varepsilon_0 rc^2})}=\frac{qA}{m-\frac{q^2}{2\pi \varepsilon_0 rc^2}} $$

Таким образом, после исправления ошибок ответ совпадает с тем, что я
уже ранее вывел. Отличие в безразмерном множителе перед
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q^2}{2rc^2}$, но как я уже ранее
говорил это специфика рассматриваемой системы зарядов (Вы
рассматривали контур с током, я рассматривал случай 2-х заряженных
шариков. Обобщение на случай $N$ шариков не представляет проблем).

Однако, мне не совсем понятен Ваш порыв. С учетом исправленной
ошибки Ваше решение по сути совпадает с моим. Я не вижу ничего
нового (за исключением того, что Вы вдруг решили рассмотреть виток с током вместо шариков).

Кроме того, Вы так ничего и не сказали о любопытной, на мой взгляд,
возможности решить задачу через момент импульса электромагнитного
поля.

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Например, в данном варианте решения у Вас имеется ошибка.

Нет, думаю что ошибка у вас.
Вы сами правильно заметили, что магнитное поле шариков будет направлено таким образом чтобы уменьшить скачек суммарного магнитного потока при выключении катушки. При уменьшении скачка и скорость должна уменьшиться. Но посмотрите на вашу формулу - там учет магнитного поля катушки приводит к увеличению скорости. Более того, при определенных условиях она вдруг устремляется в бесконечность и меняет знак!

Просто я поленился сделать зарисовку на которой были бы указаны направления всех входящих в формулу величин в пространстве, поэтому вы решили что я напутал со знаками. А ошибок у меня я не вижу.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Однако, мне не совсем понятен Ваш порыв. С учетом исправленной
ошибки Ваше решение по сути совпадает с моим. Я не вижу ничего
нового (за исключением того, что Вы вдруг решили рассмотреть виток с током вместо шариков).

Результат решения может и совпадает (если вы исправите свою ошибку), но само решение у меня более прозрачно и не вызывает лишних вопросов по поводу того откуда оно взялось и насколько ему можно доверять. Даже если кто мне не верит (я ведь тоже могу ошибаться), может легко проследить мою мысль и проверить, и при этом все почти на уровне школьного курса физики и математики.

Думаю что Фейнман предложил нам шарики на пластмассе а не сплошной виток зарядов лишь для того чтобы ясно дать понять, что заряды жестко сидят на диске и не могут двигаться относительно него как было бы в случае сплошного витка из проводника. Так уж повелось, что ученикам и преподавателям физики привычней когда заряды сидят на чем-то металлическом, а не прямо на пластмассе, поэтому Фейнман придумал шарики.

Когда в условии говорится "маленькие шарики" без уточнения их размера (например, без фразы "радиусом Rш"), это обычно означает что их размерами можно пренебречь. Аналогично, если говорится о множестве шариков без уточнения их количества, то обычно имеется ввиду достаточно большое множество для того чтобы их количество уже не влияло на результат.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Кроме того, Вы так ничего и не сказали о любопытной, на мой взгляд,
возможности решить задачу через момент импульса электромагнитного
поля.

Этим способом я лишь качественно показал в чем неправильность "провокационного" рассуждения Фейнмана. Поскольку рассуждение было основано на законах сохранения, то и опровержение нужно строить на этих же законах. Правильно? Красивого пути численного решения базирующегося на законах сохранения я не увидел. Хотя и не сильно искал. Ведь в этом рассуждении изначально и небыло намека на какое-либо численное решение кроме нулевого.

Для численного решения я лишь подхватил ход мысли Фейнмана в его правильном рассуждении и продолжил его мысль, обставив ее соответстующими формулами. Логично?

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Тема посвящается создателю альтернативной электродинамики Зиновию.

Позволю себе небольшое уточнение.
Я не предлагал "альтернативной электродинамики", а потребовал привести классическую электродинамику к строгому соответствию опытам Фарадея, векторному анализу, принципу причинности и законам Ньютона.
Считаю свое требование вполне справедливым и, отнюдь, не "альтернативным".

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

... но само решение у меня более прозрачно и не
вызывает лишних вопросов по поводу того откуда оно взялось и
насколько ему можно доверять. Даже если кто мне не верит (я ведь
тоже могу ошибаться), может легко проследить мою мысль и проверить,
и при этом все почти на уровне школьного курса физики и математики.

Вы исходили из того, что конечное число ($N$) шариков
можно заменить контуром с током. Вполне возможно, что модель контура
будет давать хорошее приближение в случае $N\to \infty$, однако,
строго говоря, это тоже требует дополнительного обоснования. Ведь
устремляя $N$ к бесконечности, Вам придется еще устремлять заряд
каждого шарика к нулю, а иначе у вас при конечной скорости получится
бесконечный ток. Собственно, я не требую от Вас этого обоснования,
поскольку даже если Вы его дадите, это будет лишь придельный случай
при $N\to \infty$, что само по себе не является решением задачи с
конечным числом шариков. Интересен как раз случай небольшого числа
шариков. Я начал с рассмотрения двух шариков и привел свой вариант
решения.

Кроме этого, несмотря на то, что Ваше решение укладывается (как Вы
сами сказали) в рамки школьной физики в нем отсутствует строгость
изложения. Вы объясняете это тем, что якобы Вам было лень сделать
зарисовку, указать направления. На мой взгляд, кажущуюся
"прозрачность" Вашего решения во многом есть результат нестрогости
изложения и, возможно, даже самого подхода. Свои возражения по этому
поводу я уже излагал и возвращаться к этому не буду. Удивляет
несколько другой факт, что, несмотря на кажущуюся простоту задачи с
двумя шариками Вы вдруг беретесь за предельный случай с
бесконечным числом шариков. В этой связи меня сразила Ваша фраза

Цитата:

Результат решения может и совпадает (если вы исправите свою
ошибку)

что, дескать, если я найду в своем решении для случая двух шариков
ошибку, то результат решения может совпасть с Вашим (т.е. со случаем
бесконечного числа шариков) =). Вы, однако, не без юмора, что радует.

Цитата:

Думаю что Фейнман предложил нам шарики на пластмассе а не
сплошной виток зарядов лишь для того чтобы ясно дать понять, что
заряды жестко сидят на диске и не могут двигаться относительно него
как было бы в случае сплошного витка из проводника. Так уж повелось,
что ученикам и преподавателям физики привычней когда заряды сидят на
чем-то металлическом, а не прямо на пластмассе, поэтому Фейнман
придумал шарики.

Не думаю, что нужно углубляться в дискуссию о том, что Фейнман мог
иметь в виду, а что не мог. Фейнман предложил "учебный парадокс" и
оставил нам возможность додумать задачу так, как нам будет
интересно. Поэтому, и Вы, и я обладаем свободой выбора того условия,
которое нам больше нравится.

Вообще, если Вы заинтересованы в разборе этой задачки, то Вы могли
бы вникнуть в ход моего решения для случая двух шариков и поискать
там ошибку.

[Lexey]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

В этой связи меня сразила Ваша фраза

Цитата:

Результат решения может и совпадает (если вы исправите свою
ошибку)

что, дескать, если я найду в своем решении для случая двух шариков
ошибку, то результат решения может совпасть с Вашим (т.е. со случаем
бесконечного числа шариков) =). Вы, однако, не без юмора, что радует.

Вы ведь говорили что вам не составит труда обобщить ваше решение на произвольное количество шариков. Вот тогда возьмете предел и сравните с моим результатом. Тогда если ни вы ни я не ошиблись то результат должен совпасть.

Но у читателей все равно останется подозрение что вы подогнали свое решение под мой результат

[Аурелиано Буэндиа]

Lexey писал(а):

Но у читателей все равно останется подозрение что вы подогнали свое решение под мой результат

Почему?